Question

如圖，已知等邊△ABC，以邊BC為直徑的圓與AB、AC分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F．
（1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）過點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為H，若FH的長為4，求BC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OD，可知道△ODB是等邊三角形，從而得到OD∥AC，證明OD⊥DE；
（2）求出AD=BD，AD=2AF，求出CF長，設(shè)AF=x，求出BC=4x，CF=3x，求出x即可．

解答：（1）DF與⊙O的位置關(guān)系是相切．
證明：理由如下：
連接OD，如圖；
∵△ABC是等邊三角形
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BDO=∠A=60°，
∴OD∥AC；
又∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；

（2）∵△BOD、△ABC是等邊三角形，
∴∠BDO=∠A=60°，
∴OD∥AC，
∵O是BC的中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴AD=BD，
又∵∠ADF=90°-60°=30°，
∵FH⊥BC，∠C=60°，F(xiàn)H=4，
∴CH=

1

2

CF，
∴CH=

4 3

3

，CF=

8 3

3

，
設(shè)AF=x，則AD=BD=2x，AC=AB=4x，CF=3x，
即3x=

8 3

3

，
x=

8 3

3

，
BC=4x=

32 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，切線的判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，有一道的難度．