Question

12．已知：如圖，在山腳的C處測(cè)得山頂A的仰角為53°，沿著坡度為30°的斜坡前進(jìn)400米到D處（即∠DCB=30°，CD=400米），測(cè)得A的仰角為63°，求此山的高度AB．（答案保留根號(hào)）
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈$\frac{4}{5}$，cos53°≈$\frac{3}{5}$，tan53°≈$\frac{4}{3}$，sin63°≈$\frac{12}{13}$，cos63°≈$\frac{5}{13}$，tan63°≈$\frac{12}{5}$）

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意分析圖形；作DN⊥AB于N，作DM⊥BC于M，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，分別求解可得DM與AN的值，再利用圖形關(guān)系，進(jìn)而可求出答案．

解答 解：如圖，作DN⊥AB于N，作DM⊥BC于M．
∵在Rt△CDM中，∠DCM=30°，CD=400米，
∴DM=CD•sin30°=$\frac{1}{2}$×400=200（米），
CM=CD•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×400=200$\sqrt{3}$（米）．
∵在Rt△ADN中，∠ADN=63°，設(shè)DN=x米，
∴AN=tan63°•x=$\frac{12}{5}$x（米）．
在矩形DMBN中，BN=DM=200米．
∵在Rt△ACB中，∠ACB=53°，
∴tan53°=$\frac{AB}{BC}$，即：$\frac{4}{3}$=$\frac{\frac{12}{5}x+200}{x+200\sqrt{3}}$，
∴x=250$\sqrt{3}$-$\frac{375}{2}$，
∴AB=AN+BN=$\frac{12}{5}$（250$\sqrt{3}$-$\frac{375}{2}$）+200=600$\sqrt{3}$-250（米）．
答：此山的高度AB為（600$\sqrt{3}$-250）米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)解直角三角形，難度一般．