Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點為A（1，4），（1，0），（3，0），以A為頂點的拋物線過點C，且與x軸另一交點為D．
（1）求拋物線解析式；
（2）動點P從A出發(fā)，沿線段AC向終點C運動，過點P作PG∥AB交拋物線于點G，求△ACG面積的最大值，并求出此時P點坐標；
（3）在（2）條件下，當△ACG面積最大時，拋物線上式否存在點Q，使得∠GAP+∠QDO=90°？若存在，求Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知定點坐標以及拋物線上的點（3，0），利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式；
（2）首先利用待定系數(shù)法求得AC的解析式，設P的橫坐標是m，利用m可以表示出△ACG的面積，利用函數(shù)的性質求得P點坐標；
（3）首先求得G的坐標，然后作GH⊥AC于點H，求得AH和GH的長度，然后求得OD的長，根據(jù)相似三角形的性質即可解答．

解答 解：（1）設拋物線的解析式是y=a（x-1）²+4，
把（3，0）代入得：4a+4=0，
解得：a=-1，
則拋物線的解析式是y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；
（2）設AC的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
則AC的解析式是y=-2x+6．
設P的坐標是（m，-2m+6），
則S=$\frac{1}{2}$×2×（-m²+2m+3+2m-6）=-m²+4m-3，
則當m=2時，S有最大值．
則當x=2時，y=-4+6=2，則P的坐標是（2，2）；
（3）把x=2代入y=-x²+2x+3得y=-4+4+3=3，
則G的坐標是（2，3）．
設經(jīng)過G且垂直于AC的直線的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+c，把（2，3）代入得1+c=3，
解得：c=2，
則經(jīng)過G且垂直于AC的直線HG的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+2．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
則H的坐標是（$\frac{8}{5}$，$\frac{14}{5}$）．
則QH=$\sqrt{（2-\frac{8}{5}）^{2}+（3-\frac{14}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AH=$\sqrt{（\frac{8}{5}-1）^{2}+（4-\frac{14}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
則AH：HQ=3：1．
C（3，0）關于x=1的對稱點是（-1，0），則與x軸另一交點D的坐標是（-1，），則OD=1，
拋物線y=-x²+2x+3中，當x=0時，y=3，即拋物線與y軸的交點是（0，3）．OE=3，
則OE：OD=3：1，
則當Q（0，3）時，△ODE∽△HQA，此時∠GAP+∠QDO=90°；
E關于x軸的對稱點E′是（0，-3）．
設直線DE′的解析式是y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
則直線DE′的解析式是y=-3x-3．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-3x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
則Q的坐標是（6，-2）．
總之，Q的坐標是（0，3）或（6，-2）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質，注意到：當Q是拋物線與y軸的交點時滿足∠GAP+∠QDO=90°是關鍵．