Question

3．已知：矩形ABCD中，AD=2AB，點E、F分別在線段AD、CD上，滿足：∠EBF=45°，點P為BF中點，連接EP．

（1）如圖1，求證：∠EPB+∠BFD=180°；
（2）如圖2，延長EP交BC于點M，把線段BM沿著直線EM折疊，交BF于點N，當EP=2PM時，請你探究線段PN和線段NF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 如圖，過點P作CD的平行線交BC于G，交AD于K，截取GH=AE，BM沿ME翻折至MR，過R作RQ⊥BC于Q，連結(jié)BR，BH，
（1）由題意得到PG垂直于BG，再由PG與FC平行，且P為BF中點，得到G為BC中點，得BC=2BG，由BC=2AB，得到AB=BG，利用SAS得到三角形ABE與三角形BGH全等，利用全等三角形對應角相等，對應邊相等得到EB=BH，且∠ABE=∠HBG，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，利用SAS得到三角形EBP與三角形HBP全等，利用全等三角形對應邊、對應角相等得到∠BPE=∠BPH，EP=HP，由PG與DC平行，得到一對同位角相等，利用鄰補角互補等量代換即可得證；
（2）以BC為x軸，AB為x軸，建立坐標系，如圖所示，設(shè)BC=8a，AE=x，那么AK=AB=BG=KG=4a，EK=4a-x，繼而表示出EK，KP，EP，在直角三角形EPK中，利用勾股定理表示出x，進而表示出EK，PK，根據(jù)∠RBM=∠EPK，得到tan∠RBM=tan∠EPK，求出RQ與BQ之比，進而設(shè)出RQ，BQ，在直角三角形RMQ中，利用勾股定理列出關(guān)系式，表示出RQ，BQ，進而表示出B，P，M，R坐標，利用待定系數(shù)法求出BF與RM解析式，聯(lián)立表示出N坐標，求出PN與NF之比即可．

解答 解：如圖，過點P作CD的平行線交BC于G，交AD于K，截取GH=AE，BM沿ME翻折至MR，過R作RQ⊥BC于Q，連結(jié)BR，BH，

（1）∵KH∥AB，∠ABG=90°．
∴∠BGK=90°，即PG⊥BG，
∵BP=FP，PG∥FC，
∴BG=CG，即BC=2BG，
∵BC=2AB，
∴AB=BG，
在△BAE和△BGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BG}\\{∠BAE=∠BGH}\\{AE=GH}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BGH（SAS），
∴∠ABE=∠GBH，BE=BH，
∵∠ABG=90°，∠EBP=45°，
∴∠EBP=∠HBP=45°，
在△BEP和△BHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BH}\\{∠EBP=∠HBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BEP≌△BHP（SAS），
∴∠BPE=∠BPH，EP=HP，
∵PG∥DC，
∴∠BPH=∠BFC，
∵∠BFC+∠BFD=180°，
∴∠BPE+∠DFP=180°；
（2）以BC為x軸，AB為x軸，建立坐標系，如圖所示，
設(shè)BC=8a，AE=x，那么AK=AB=BG=KG=4a，EK=4a-x，
∵EP=2PM，EK∥GM，
∴KP=2PG=$\frac{8}{3}$a，PG=$\frac{4}{3}$a，EP=HP=PG+GH=AE+PG=x+$\frac{4}{3}$a，
∵在Rt△PEK中，根據(jù)勾股定理得：EK²+KP²=EP²，
∴（4a-x）²+（$\frac{8}{3}$a）²=（x+$\frac{4}{3}$a）²，
∴x=2a，
∴EK=2a，GM=$\frac{1}{2}$EK=a，
∵∠RBM=∠EPK，
∴tan∠RBM=tan∠EPK，即$\frac{RQ}{BQ}$=$\frac{EK}{PK}$=$\frac{2a}{\frac{8}{3}a}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)RQ=3y，BQ=4y，BM=RM=BG+GM=4a+a=5a，
∴在Rt△RMQ中，根據(jù)勾股定理得：MQ²+RQ²=MR²，即（4y-5a）²+（3y）²=（5a）²，
∴y=$\frac{8}{5}$a，
∴BQ=$\frac{32}{5}$a，RQ=$\frac{24}{5}$a，
∴B（0，0），P（4a，$\frac{4}{3}$a），M（5a，0），R（$\frac{32}{5}$a，$\frac{24}{5}$a），
可得直線BF解析式為：y=$\frac{1}{3}$x；直線MR解析式為：y=$\frac{24}{7}$x-$\frac{120}{7}$a，
令$\frac{1}{3}$x=$\frac{24}{7}$x-$\frac{120}{7}$，
解：x=$\frac{72}{13}$a，y=$\frac{24}{13}$a，
∴N（$\frac{72}{13}$a，$\frac{24}{13}$a），
∴$\frac{PN}{NF}$=$\frac{\frac{72}{13}a-4a}{8a-\frac{72}{13}a}$=$\frac{5}{8}$．

點評 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，勾股定理，坐標與圖形性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)與定理是解本題的關(guān)鍵．