Question

直線l：y=-2x+2m（m＞0）與x，y軸分別交于A、B兩點，點M是雙曲線y=

4

x

（x＞0）上一點，分別連接MA、MB．
（1）如圖，當點A（

2 3

3

，0）時，恰好AB=AM；∠M₁AB=90°試求M₁的坐標；
（2）如圖，當m=3時，直線l與雙曲線交于C、D兩點，分別連接OC、OD，試求△OCD面積；
（3）如圖，在雙曲線上是否存在點M，使得以AB為直角邊的△MAB與△AOB相似？如果存在，請直接寫出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A的坐標代入直線的解析式即可求得m的值，然后證明△OAB≌△EMA，求得ME和AE的長，則M的坐標即可求解；
（2）解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組，即可求得C和D的坐標，作DF⊥y軸于點F，CG⊥y軸，根據(jù)S_△OCD=S_梯形CDFG+S_△OCG-S_△ODF求解；
（3）需要分類討論：以∠BAM和∠ABM為直角兩種情況．以∠BAM為例進行解答：作MH⊥x軸于點H，根據(jù)△AOB∽△MAB求得AM的長，然后證明△AOB∽△MHA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AH和MH的長，進而求得M的坐標，然后判斷M是否在反比例函數(shù)的圖象上即可．

解答：解：（1）把A（

2 3

3

，0）代入y=-2x+2m得：-

4 3

3

+2m=0，
解得：m=

2 3

3

．
則直線的解析式是：y=-2x+

4 3

3

，
令x=0，解得y=

4 3

3

，
則B的坐標是（0，

4 3

3

）．
作ME⊥x軸于點E．
∵∠BAM=90°，
∴∠BAO+∠MAE=90°，
又∵直角△AEM中，∠AME+∠MAE=90°，
∴∠BAO=∠AME．
在△OAB和△EMA中，

∠AOB=∠AEM ∠BAO=∠AME AB=AM

，
∴△OAB≌△EMA（AAS），
∴ME=OA=

2 3

3

，AE=OB=

4 3

3

．
∴OE=OA+AE=2

3

，
則M₁的坐標是（2

3

，

2 3

3

）；
（2）當m=3時，一次函數(shù)的解析式是y=-2x+6．
解不等式組

y=-2x+6 y= 4 x

，
解得：

x=1 y=4

或

x=2 y=2

，
則D的坐標是（1，4），C的坐標是（2，2）．
作DF⊥y軸于點F，CG⊥y軸，則F和G的坐標分別是（0，4），（0，2）．
則S_△OCG=S_△ODF=

1

2

×4=2，
S_梯形CDFG=

1

2

（1+2）×（4-2）=3，
則S_△OCD=S_梯形CDFG+S_△OCG-S_△ODF=3；
（3）作MH⊥x軸于點H．
則△AOB、△ABM、△BMH都是兩直角邊的比是1：2的直角三角形．
當∠BAM=∠OAB=90°時，OM=m，OA=2m，得：
BH=

1

2

OA=m，MH=

1

2

OB=

1

2

m，
從而得到點M的坐標為（2m，

1

2

m）．
代入雙曲線解析式為：2m=

1

2

m，
解得：m=2，則點M的坐標為（4，1）．
同理：當∠BAM=∠OBA時，點M的坐標為（

10

，

2 10

5

）．
綜上所述，滿足條件的點M的坐標是：（4，1）或（

10

，

2 10

5

）．

點評：本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合題，正確求得（3）中M的坐標是解決本題的關(guān)鍵．