Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸分別交于點(diǎn)A（2，0）、點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，tan∠CBA=$\frac{1}{2}$．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為D，求四邊形ACBD的面積；
（3）設(shè)拋物線上的點(diǎn)E在第一象限，△BCE是以BC為一條直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式和已知條件得出C和B的坐標(biāo)，（0，3），OC=3，
把A（2，0）、B（6，0）分別代入y=ax²+bx+3得出方程組，解方程即可；
（2）把拋物線解析式化成頂點(diǎn)式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形ACBD的面積=△ABC的面積+△ABD的面積，即可得出結(jié)果；
（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{4}$x²-2x+3），分兩種情況：①當(dāng)∠CBE=90°時(shí)；②當(dāng)∠BCE=90°時(shí)；分別由三角函數(shù)得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，∴C（0，3），OC=3，
在Rt△COB中，∵tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OB=2OC=6，
∴點(diǎn)B（6，0），
把A（2，0）、B（6，0）分別代入y=ax²+bx+3，得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+3=0}\\{36a+6b+3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴該拋物線表達(dá)式為y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3；
（2）∵y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3=$\frac{1}{4}$（x-4）²-1
∴頂點(diǎn)D（4，-1），
∴四邊形ACBD的面積=△ABC的面積+△ABD的面積=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×1=8；
（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{4}$x²-2x+3），分兩種情況：
①當(dāng)∠CBE=90°時(shí)，
作EM⊥x軸于M，如圖所示：
則∠BEM=∠CBA，
∴$\frac{BM}{EM}$=tan∠BEM=tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，
∴EM=2BM，
即2（x-6）=$\frac{1}{4}$x²-2x+3，
解得：x=10，或x=6（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（10，8）；
②當(dāng)∠BCE₁=90°時(shí)，作E₁N⊥y軸于N，
則∠E₁CN=∠CBA，
∴$\frac{{E}_{1}N}{CN}$=tan∠E₁CN=tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，
∴CN=2E₁N，
即2x=$\frac{1}{4}$x²-2x+3-3，
解得：x=16，或x=0（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)E₁坐標(biāo)為（16，35）；
綜上所述：點(diǎn)E坐標(biāo)為（10，8）或（16，35）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、拋物線解析式的求法、三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，求出拋物線解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．