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13.如圖,點O為 Rt△ABC斜邊AB上的一點,以OA為半徑的⊙O與BC切于點D,與AC交于點E,連接AD.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)若⊙O的半徑為2,∠B=30°,求圖中陰影部分面積(結果保留π).

分析 (1)由Rt△ABC中,∠C=90°,⊙O切BC于D,易證得AC∥OD,繼而證得AD平分∠CAB.
(2)如圖,連接ED,根據(jù)(1)中AC∥OD和菱形的判定與性質得到四邊形AEDO是菱形,則△AEM≌△DMO,則圖中陰影部分的面積=扇形EOD的面積.

解答 解:
(1)證明:∵⊙O切BC于D,
∴OD⊥BC,
∵AC⊥BC,
∴AC∥OD,
∴∠CAD=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADO,
∴∠OAD=∠CAD,
即AD平分∠CAB;

(2)設EO與AD交于點M,連接ED.
∴∠B=30°,
∴∠BAC=60°,
∵OA=OE,
∴△AEO是等邊三角形,
∴AE=OA,∠AOE=60°,
∴AE=AO=OD,
又由(1)知,AC∥OD即AE∥OD,
∴四邊形AEDO是菱形,則△AEM≌△DMO,∠EOD=60°,
∴S△AEM=S△DMO,
∴S陰影=S扇形EOD=60π×22360=23π.

點評 此題考查了切線的性質、扇形面積公式的運用、等腰三角形的性質以及等邊三角形的判定和性質,熟記和圓有關的各種性質是解題的關鍵.

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頻數(shù)50m4020
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