Question

6．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2$\sqrt{2}$，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$-2
• B． $\sqrt{5}-2$
• C． $\sqrt{5}-1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 連結AE，如圖1，先根據等腰直角三角形的性質得到AB=AC=2，再根據圓周角定理，由AD為直徑得到∠AED=90°，接著由∠AEB=90°得到點E在以AB為直徑的⊙O上，于是當點O、E、C共線時，CE最小，如圖2，在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OC=$\sqrt{5}$，從而得到CE的最小值為$\sqrt{5}$-1．

解答 解：連結AE，如圖1，

∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=AC=2，
∵AD為直徑，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB=90°，
∴點E在以AB為直徑的⊙O上，
∵⊙O的半徑為1，
連接OE，OC，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=1
在Rt△AOC中，
∵OA=2，AC=4，
∴OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由于OC=$\sqrt{5}$，OE=1是定值，
點E在線段OC上時，CE最小，如圖2，

∴CE=OC-OE=$\sqrt{5}$-1，
即線段CE長度的最小值為$\sqrt{5}$-1．
故選C．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和等腰直角三角形的性質；會利用勾股定理計算線段的長．解決本題的關鍵是確定E點運動的規(guī)律，從而把問題轉化為圓外一點到圓上一點的最短距離問題．