Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，在線段AC上有一動點P（P不與C重合），以PC為直徑作⊙O交PB于Q點，連AQ，則AQ的最小值為$\frac{\sqrt{73}-3}{2}$．

Answer 1

分析 連接CQ，可得∠PQC=∠BQC=90°，從而知點Q在以BC為直徑的⊙O上，繼而知當(dāng)點Q、A、O三點共線時AQ最小，根據(jù)勾股定理求得AO的長，即可得線段AQ的最小值．

解答 解：如圖，連接CQ，則∠PQC=∠BQC=90°，
∴點Q在以BC為直徑的⊙O上，
∵∠ACB=90°，AC=4，AB=5，
∴BC=3，
∴CO=QO=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)點Q、A、O三點共線時，AQ最小，
∵AC=4，
∴AO=$\sqrt{A{C}^{2}+C{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{2}$，
∴AQ=AO-QO=$\frac{\sqrt{73}}{2}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{73}-3}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{73}-3}{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理和勾股定理的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是確定Q點運動的軌跡，從而把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的最短距離問題．