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20.如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,∠BAC的平分線AD交⊙O于點D,過點D垂直于AC的直線交AC的延長線于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)如果AD=5,AE=4,求⊙O的半徑.

分析 (1)連接OD,由AD為角平分線,得到一對角相等,再由OA=OD,得到一對角相等,等量代換得到一對內(nèi)錯角相等,利用內(nèi)錯角相等兩直線平行可得AE與OD平行,由兩直線平行同旁內(nèi)角互補,得到∠E與∠EDO互補,再由∠E為直角,可得∠EDO為直角,即DE為圓O的切線,得證;
(2)連接BD,由AB為圓O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,得到∠ADB為直角,在直角三角形ABD中,利用銳角三角函數(shù)定義得到cos∠DAB=ADAB,又在直角三角形AED中,由AE及AD的長,利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠EAD的值,由∠EAD=∠DAB,得到cos∠EAD=cos∠DAB,得出cos∠DAB的值,即可求出直徑AB的長,進(jìn)而求得半徑長.

解答 (1)證明:連接OD,如圖1所示:
∵AD為∠CAB的平分線,
∴∠CAD=∠BAD,
又∵OA=OD,
∴∠BAD=ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,
∴∠E+∠EDO=180°,
又∵AE⊥ED,即∠E=90°,
∴∠EDO=90°,
則ED為圓O的切線;

(2)解:連接BD,如圖2所示,過點A作AF⊥AC,
∵AB為圓O的直徑,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ABD中,cos∠DAB=ADAB
在Rt△AED中,AE=4,AD=5,
∴cos∠EAD=AEAD=45,又∠EAD=∠DAB,
∴cos∠DAB=cos∠EAD=ADAB=45,
則AB=54AD=254,即圓的直徑為254,
∴半徑AO=258

點評 此題考查了切線的判定,圓周角定理,勾股定理,平行線的判定與性質(zhì),以及銳角三角函數(shù)定義,切線的證明方法有兩種:有點連接證垂直;無點作垂線證明垂線段等于圓的半徑.

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(1)作∠BCA的角平分線,交AB于點O;
(2)以O(shè)為圓心,OB為半徑作圓.
綜合運用:在你所作的圖中,
(3)AC與⊙O的位置關(guān)系是相切(直接寫出答案);
(4)若BC=6,AB=8,求⊙O的半徑.

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④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.
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(1)求證:AF=CF;
(2)若tan∠BAE=34,AE=8,求AF的長.

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同步練習(xí)冊答案
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