分析 (1)連接OD,由AD為角平分線,得到一對角相等,再由OA=OD,得到一對角相等,等量代換得到一對內(nèi)錯角相等,利用內(nèi)錯角相等兩直線平行可得AE與OD平行,由兩直線平行同旁內(nèi)角互補,得到∠E與∠EDO互補,再由∠E為直角,可得∠EDO為直角,即DE為圓O的切線,得證;
(2)連接BD,由AB為圓O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,得到∠ADB為直角,在直角三角形ABD中,利用銳角三角函數(shù)定義得到cos∠DAB=ADAB,又在直角三角形AED中,由AE及AD的長,利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠EAD的值,由∠EAD=∠DAB,得到cos∠EAD=cos∠DAB,得出cos∠DAB的值,即可求出直徑AB的長,進(jìn)而求得半徑長.
解答 (1)證明:連接OD,如圖1所示:
∵AD為∠CAB的平分線,
∴∠CAD=∠BAD,
又∵OA=OD,
∴∠BAD=ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,
∴∠E+∠EDO=180°,
又∵AE⊥ED,即∠E=90°,
∴∠EDO=90°,
則ED為圓O的切線;
(2)解:連接BD,如圖2所示,過點A作AF⊥AC,
∵AB為圓O的直徑,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ABD中,cos∠DAB=ADAB,
在Rt△AED中,AE=4,AD=5,
∴cos∠EAD=AEAD=45,又∠EAD=∠DAB,
∴cos∠DAB=cos∠EAD=ADAB=45,
則AB=54AD=254,即圓的直徑為254,
∴半徑AO=258.
點評 此題考查了切線的判定,圓周角定理,勾股定理,平行線的判定與性質(zhì),以及銳角三角函數(shù)定義,切線的證明方法有兩種:有點連接證垂直;無點作垂線證明垂線段等于圓的半徑.
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