Question

在平面直角坐標系xOy中，設點，是圖形W上的任意兩點．

定義圖形W的測度面積：若的最大值為m，的最大值為n，則 為圖形W的測度面積．

例如，若圖形W是半徑為1的⊙O．當P，Q分別是⊙O與x軸的交點時，如圖1， 取得最大值，且最大值m=2；當P，Q分別是⊙O與y軸的交點時，如圖2，取得最大值，且最大值n=2．則圖形W的測度面積．

（1）若圖形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．

①如圖3，當點A，B在坐標軸上時，它的測度面積S= ；

②如圖4，當AB⊥x軸時，它的測度面積S= ；

（2）若圖形W是一個邊長為1的正方形ABCD，則此圖形測度面積S的最大值為 ；

（3）若圖形W是一個邊長分別為3和4的矩形ABCD，求它的測度面積S的取值范圍．

Answer 1

（1）①1；②1；（2）2；（3）．

【解析】

試題分析：（1）①根據給出的定義可以求出來；

②根據給出的定義可以求出來；

（2）根據定義可以求出測度面積的最大值為2；

（3）因為平移圖形W不會改變其測度面積S的大小，將矩形ABCD的其中一個頂點B平移至x軸上，注意分三種情況討論，

試題解析：（1）① 1；

② 1．

（2） 2．

（3）不妨設矩形ABCD的邊AB=4，BC=3．由已知可得，平移圖形W不會改變其測度面積S的大小，將矩形ABCD的其中一個頂點B平移至x軸上．

當頂點A，B或B，C都在x軸上時，如圖5和圖6，矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的面積，此時S取得最小值，且最小值為12．

當頂點A，C都不在x軸上時，如圖7．

過A作直線AE⊥x軸于點E，過C作直線CF⊥x軸于點F，過D作直線GH∥x軸，與直線AE，CF分別交于點H和點G，則可得四邊形EFGH是矩形．

當點P，Q分別與點A，C重合時，取得最大值，且最大值；

當點P，Q分別與點B，D重合時，取得最大值，且最大值．

∴圖形W的測度面積．

∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∵∠AEB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF．

又∵，∴△ABE∽△BCF，∴．

設，則，

在Rt△ABE中，由勾股定理得．

∴．即．∵，∴，易證△ABE≌△CDG．∴．∴，．

∴

∴當，即時，測度面積S取得最大值．

∵，∴．∴．

∴當頂點A，C都不在x軸上時，S的范圍為．

綜上所述，測度面積S的取值范圍是．

考點：1．新定義；2．勾股定理．