【題目】已知:矩形ABCD內(nèi)接于⊙O,連接 BD,點E在⊙O上,連接 BE交 AD于點F,∠BDC+45°=∠BFD,連接ED.
(1)如圖 1,求證:∠EBD=∠EDB;
(2)如圖2,點G是 AB上一點,過點G作 AB的垂線分別交BE和 BD于點H和點K,若HK=BG+AF,求證:AB=KG;
(3)如圖 3,在(2)的條件下,⊙O上有一點N,連接 CN分別交BD和 AD于點 M和點 P,連接 OP,∠APO=∠CPO,若 MD=8,MC= 3,求線段 GB的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)GB.
【解析】
(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可知∠BDC=∠DBA,∠A=90°,再結合已知條件∠BDC+45°=∠BFD,通過角的等量代換可得出∠EBD=45°,又因為∠BED=90°,即可得出結論;
(2)過點K 作 KS⊥BE,垂足為 R,交 AB 于點 S.證明△SRB≌△HRK,得出SB=HK,再證明△ABF≌△GKS,即可得出結論;
(3)過點 O 分別作AD 和 CN 的垂線,垂足分別為 Q 和 T,連接 OC.通過證明△OQD≌△OTC,得出AD=CN=BC,連接ON,證△NOC≌△BOC,得出∠BCO=∠NCO
設∠OBC=∠OCB=∠NCO=α,由此得出∠MOC=2α,過點 M 作 MW⊥OC,垂足為 W
在 OC 上取一點 L,使 WL=OW,連接 ML,設OM=ML=LC=a,根據(jù)勾股定理可求出OM的值,繼而求出MW=3,WC=9,∴OB=OC=OD=13,BD=26,再解直角三角形即可.
解:(1)如圖1,∵矩形 ABCD
∴AB∥CD,∠A=90°
∴∠BDC=∠DBA,BD是⊙O的直徑
∴∠BED=90°
∵∠BFD=∠ABF+∠A,∠BFD=∠BDC+45°
∴∠ABF+∠A=∠BDC+45°
即∠ABF+90°=∠DBA+45°
∴∠DBA-∠ABF=45°
∴∠EBD=45°
∴∠EBD=∠EDB
(2)證明:如下圖 ,在圖2中,過點K 作 KS⊥BE,垂足為 R,交 AB 于點 S.
∵KG⊥AB
∴∠BGH=∠KRH=∠SRB=∠KGS=90°
∴∠SBR=∠HKR
∵∠RBK=∠RKB=45°
∴BR=KR
∵∠SRB=∠HRK=90°
∴△SRB≌△HRK
∴SB=HK
∵SB=BG+SG,HK=BG+AF
∴BG+SG=BG+AF
∴SG=AF
∵∠ABF=∠GKS,∠BAF=∠KGS=90°
∴△ABF≌△GKS
∴AB=KG
(3)如下圖 ,在圖3中,過點 O 分別作AD 和 CN 的垂線,垂足分別為 Q 和 T,連接 OC.
∵∠APO=∠CPO
∴OQ=OT
∵OD=OC,∠OQD=∠OTC=90°
∴△OQD≌△OTC
∴DQ=CT
∴AD=CN=BC
連接 ON
∵OC=OC,ON=OB
∴△NOC≌△BOC
∴∠BCO=∠NCO
設∠OBC=∠OCB=∠NCO=α
∴∠MOC=2α
過點 M 作 MW⊥OC,垂足為 W
在 OC 上取一點 L,使 WL=OW,連接 ML
∴MO=ML
∴∠MOL=∠MLO=2α
∴∠LCM=∠LMC=α
∴ML=CL
設OM=ML=LC=a
則OD=a+8=OC,∴OL=8,OW=WL=4
∵OM 2OW2MW2MC 2CW 2
∴
(9 舍去),
5
∴OM=5
∴MW=3,WC=9,∴OB=OC=OD=13,BD=26
∵∠GKB=∠CBD=∠ADB=∠BCO=∠MCW,tan∠MCW=
∴tan∠GKB=tan∠CBD=tan∠ADB=tan∠BCO=tan∠MCW=
∴CD=GK=AB
在 Rt△GKB 中,tan∠GKB=
∴GB
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交
軸于
兩點,交
軸于點
,點
的坐標為
,頂點
的坐標為
.
(1)求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式;
(2)點是直線
上的一個動點,過點
作
軸的垂線,交拋物線于點
,當點
在第一象限時,求線段
長度的最大值;
(3)在拋物線上是否存在異于的點
,使
中
邊上的高為
,若存在求出點
的坐標;若不存在請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,等邊△ABC的邊長為4,點D是BC邊上一動點,且CE=BD,連接AD,BE,AD與BE相交于點P,連接PC.則線段PC的最小值等于_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線
:
與直線
分別交于點
.直線
與
交于點
.記線段
,
圍成的區(qū)域(不含邊界)為
.橫,縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.
(1)當時,區(qū)域
內(nèi)的整點個數(shù)為_____;
(2)若區(qū)域內(nèi)沒有整點,則
的取值范圍是_______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,是⊙
的直徑,
是⊙
的一條弦,
,
的延長線交⊙
于點
,交
的延長線于點
,連接
,且恰好
∥
,連接
交
于點
,延長
交
于點
,連接
.
(1)求證:是⊙
的切線;
(2)求證:點是
的中點;
(3)當⊙的半徑為
時,求
的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,用細線懸掛一個小球,小球在豎直平面內(nèi)的A、C兩點間來回擺動,A點與地面距離AN=14cm,小球在最低點B時,與地面距離BM=5cm,∠AOB=66°,求細線OB的長度.(參考數(shù)據(jù):sin66°≈0.91,cos66°≈0.40,tan66°≈2.25)
【答案】15cm
【解析】
試題設細線OB的長度為xcm,作AD⊥OB于D,證出四邊形ANMD是矩形,得出AN=DM=14cm,求出OD=x-9,在Rt△AOD中,由三角函數(shù)得出方程,解方程即可.
試題解析:設細線OB的長度為xcm,作AD⊥OB于D,如圖所示:
∴∠ADM=90°,
∵∠ANM=∠DMN=90°,
∴四邊形ANMD是矩形,
∴AN=DM=14cm,
∴DB=14﹣5=9cm,
∴OD=x﹣9,
在Rt△AOD中,cos∠AOD=,
∴cos66°==0.40,
解得:x=15,
∴OB=15cm.
【題型】解答題
【結束】
20
【題目】已知:如圖,在半徑為的
中,
、
是兩條直徑,
為
的中點,
的延長線交
于點
,且
,連接
。
.
(1)求證:;
(2)求的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC是等邊三角形,點D是射線BC上的一個動點(點D不與點B、C重合),△ADE是以AD為邊的等邊三角形,過點E作BC的平行線,分別交射線AB、AC于點F、G,連接BE.
(1)如圖(a)所示,當點D在線段BC上時.
①求證:△AEB≌△ADC;
②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形?并說明理由;
(2)如圖(b)所示,當點D在BC的延長線上時,直接寫出(1)中的兩個結論是否成立;
(3)在(2)的情況下,當點D運動到什么位置時,四邊形BCGE是菱形?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,將放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,點
,點
,點
均落在格點上.
(1)_________.
(2)請在如圖所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出一個以為底邊的等腰
,使該三角形的面積等于
的面積,并簡要說明點
的位置是如何找到的(不要求證明)__________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點
在邊
上,
點
為邊
上一動點,連接
與
關于
所在直線對稱,點
分別為
的中點,連接
并延長交
所在直線于點
,連接
.當
為直角三角形時,
的長為_________ .
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