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12.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上,邊AB、OA(AB>OA)的長分別是方程x2-11x+24=0的兩個根,D是AB上的點(diǎn),且滿足DADB=35
(1)矩形OABC的面積是24,周長是22.
(2)求直線OD的解析式;
(3)點(diǎn)P是射線OD上的一個動點(diǎn),當(dāng)△PAD是等腰三角形時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 (1)根據(jù)邊AB、OA(AB>OA)的長分別是方程x2-11x+24=0的兩個根,即可得到AO=3,AB=8,進(jìn)而得出矩形OABC的面積以及矩形OABC的周長;
(2)根據(jù)DADB=35,AB=8,可得AD=3,再根據(jù)AO=3,進(jìn)而得出D(-3,3),再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線OD的解析式;
(3)根據(jù)△PAD是等腰三角形,分4種情況討論:當(dāng)AD=AP1=3時,當(dāng)DA=DP2=3時,當(dāng)AP3=DP3時,當(dāng)DA=DP4=3時,分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

解答 解:(1)∵x2-11x+24=0,
∴(x-3)(x-8)=0,
∴x1=3,x2=8,
∵AB、OA(AB>OA)的長分別是方程x2-11x+24=0的兩個根,
∴AO=3,AB=8,
∴矩形OABC的面積=3×8=24,矩形OABC的周長=2(3+8)=22,
故答案為:24,22;

(2)∵DADB=35,AB=8,
∴AD=3,
又∵AO=3,
∴D(-3,3),
設(shè)直線OD解析式為y=kx,則
3=-3k,即k=-1,
∴直線OD的解析式為y=-x;

(3)∵AD=AO=3,∠DAO=90°,
∴△AOD是等腰直角三角形,
∴∠ADO=45°,DO=32,
根據(jù)△PAD是等腰三角形,分4種情況討論:
①如圖所示,當(dāng)AD=AP1=3時,點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(0,0);
②如圖所示,當(dāng)DA=DP2=3時,過P2作x軸的垂線,垂足為E,則
OP2=32-3,△OEP2是等腰直角三角形,
∴P2E=OE=3232=3-322,
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-3+322,3-322);
③如圖所示,當(dāng)AP3=DP3時,∠DAP3=∠ADO=45°,
∴△ADP3是等腰直角三角形,
∴DP3=AD2=322,
∴P3O=32-322=322,
過P3作x軸的垂線,垂足為F,則△OP3F是等腰直角三角形,
∴P3F=OF=32,
∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(-32,32);
④如圖所示,當(dāng)DA=DP4=3時,P4O=3+32
過P4作x軸的垂線,垂足為G,則△OP4G是等腰直角三角形,
∴P4G=OG=322+3,
∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為(-3-322,3+322);
綜上所述,當(dāng)△PAD是等腰三角形時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)、(-3+322,3-322)、(-32,32)、(-3-322,3+322).

點(diǎn)評 本題屬于相似形綜合題,主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),等腰三角形的判定,解一元二次方程以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的綜合應(yīng)用,解題時注意:當(dāng)△PAD是等腰三角形時,需要分情況討論,解題時注意分類思想的運(yùn)用.解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形.

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