Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，邊AB、OA（AB＞OA）的長(zhǎng)分別是方程x²-11x+24=0的兩個(gè)根，D是AB上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{5}$．
（1）矩形OABC的面積是24，周長(zhǎng)是22．
（2）求直線(xiàn)OD的解析式；
（3）點(diǎn)P是射線(xiàn)OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAD是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)邊AB、OA（AB＞OA）的長(zhǎng)分別是方程x²-11x+24=0的兩個(gè)根，即可得到AO=3，AB=8，進(jìn)而得出矩形OABC的面積以及矩形OABC的周長(zhǎng)；
（2）根據(jù)$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{5}$，AB=8，可得AD=3，再根據(jù)AO=3，進(jìn)而得出D（-3，3），再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)OD的解析式；
（3）根據(jù)△PAD是等腰三角形，分4種情況討論：當(dāng)AD=AP₁=3時(shí)，當(dāng)DA=DP₂=3時(shí)，當(dāng)AP₃=DP₃時(shí)，當(dāng)DA=DP₄=3時(shí)，分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵x²-11x+24=0，
∴（x-3）（x-8）=0，
∴x₁=3，x₂=8，
∵AB、OA（AB＞OA）的長(zhǎng)分別是方程x²-11x+24=0的兩個(gè)根，
∴AO=3，AB=8，
∴矩形OABC的面積=3×8=24，矩形OABC的周長(zhǎng)=2（3+8）=22，
故答案為：24，22；

（2）∵$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{5}$，AB=8，
∴AD=3，
又∵AO=3，
∴D（-3，3），
設(shè)直線(xiàn)OD解析式為y=kx，則
3=-3k，即k=-1，
∴直線(xiàn)OD的解析式為y=-x；

（3）∵AD=AO=3，∠DAO=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ADO=45°，DO=3$\sqrt{2}$，
根據(jù)△PAD是等腰三角形，分4種情況討論：
①如圖所示，當(dāng)AD=AP₁=3時(shí)，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（0，0）；
②如圖所示，當(dāng)DA=DP₂=3時(shí)，過(guò)P₂作x軸的垂線(xiàn)，垂足為E，則
OP₂=3$\sqrt{2}$-3，△OEP₂是等腰直角三角形，
∴P₂E=OE=$\frac{3\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}}$=3-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（-3+$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，3-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$）；
③如圖所示，當(dāng)AP₃=DP₃時(shí)，∠DAP₃=∠ADO=45°，
∴△ADP₃是等腰直角三角形，
∴DP₃=$\frac{AD}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴P₃O=3$\sqrt{2}$-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
過(guò)P₃作x軸的垂線(xiàn)，垂足為F，則△OP₃F是等腰直角三角形，
∴P₃F=OF=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
④如圖所示，當(dāng)DA=DP₄=3時(shí)，P₄O=3+3$\sqrt{2}$，
過(guò)P₄作x軸的垂線(xiàn)，垂足為G，則△OP₄G是等腰直角三角形，
∴P₄G=OG=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$+3，
∴點(diǎn)P₄的坐標(biāo)為（-3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）；
綜上所述，當(dāng)△PAD是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）、（-3+$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，3-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$）、（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）、（-3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：當(dāng)△PAD是等腰三角形時(shí)，需要分情況討論，解題時(shí)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造等腰直角三角形．