分析 (1)把A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+2(a≠0),得{a−b+2=09a+3b+2=0,求出a,b的值,即可解答.
(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,m),當(dāng)∠ODB=90°時(shí),根據(jù)勾股定理求出m的值,所以當(dāng)∠ODB為銳角時(shí),m的取值值范圍為:m>√2或m<−√2.
(3)由題知E(n,0)、F(n,−23n2+43n+2),分兩種情況討論:當(dāng)n<-1時(shí),當(dāng)-1<n<3時(shí),由△BEF∽△COB,得到EFOB=BECO,進(jìn)一步得到關(guān)于n的方程,即可求出n的值.
解答 解:(1)把A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+2(a≠0),
得{a−b+2=09a+3b+2=0
解得:{a=−23b=43,
拋物線的解析式y=−23x2+43x+2.
(2)如圖1,當(dāng)∠ODB=90°時(shí),
∵拋物線的解析式y=−23x2+43x+2.
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1,
∵D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,m),
在Rt△DEO中,OD2=OE2+DE2=12+m2=1+m2,
在Rt△DEB中,DB2=DE2+BE2=m2+22=m2+4,
在Rt△ODB中,OB2=OD2+BD2
即32=1+m2+m2+4,
解得:m=±√2,
∴當(dāng)∠ODB為銳角時(shí),m的取值值范圍為:m>√2或m<−√2.
故答案為:m<−√2或m>√2.
(3)由題知E(n,0)、F(n,−23n2+43n+2),
當(dāng)n<-1時(shí),如圖2,
由△BEF∽△COB,EFOB=BECO,
即−(−23n2+43n+2)3=3−n2,
整理得:4n2+n-39=0,
解得,n1=−134,n2=3(舍去),
當(dāng)-1<n<3時(shí),如圖3,
由△BEF∽△COB,EFOB=BECO,
即(−23n2+43n+2)3=3−n2,
整理得:4n2-17n+15=0,
解得,n1=54,n2=3(舍去),
綜上,當(dāng)n的值等于−134、54時(shí),△BEF∽△COB.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了求二次函數(shù)的解析式、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)定理,解決本題(3)的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論,利用相似三角形的性質(zhì)定理得到關(guān)于n的方程.
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A. | (14+2√3)米 | B. | 28米 | C. | (7+√3)米 | D. | 9米 |
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