Question

18．如圖，點(diǎn)A（2，6）和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）都在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在y軸上，BC∥x軸，tan∠ACB=2，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；
（2）如果點(diǎn)D在x軸的正半軸上，點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，若以A，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$，由A的坐標(biāo)可求出k的值，作AM⊥BC，垂足為M，交y軸于N，利用已知條件求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（6，2）再設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+2，把A和B的坐標(biāo)代入求出a和b的值即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)AC為邊時(shí)，延長AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，利用已知條件可證明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性質(zhì)可得：EH=AM=4，DH=CM=2，進(jìn)而求出點(diǎn)E（3，4），所以O(shè)E=3，OD=OE-DH=1，利用勾股定理即可求出CD的長；當(dāng)AC為對角線時(shí)，可設(shè)D（t，0），由A、C坐標(biāo)可求得線段AC的中點(diǎn)，則可用t表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得t的值，則可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用勾股定理可求得CD的長．

解答 解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$，
∵點(diǎn)A（2，6）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴6=$\frac{k}{2}$，
∴k=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{12}{x}$，
作AM⊥BC，垂足為M，交x軸于N，如圖1，

∴CM=2．
在Rt△ACM中，AM=CM•tan∠ACB=2×2=4，
∵BC∥x軸，OC=MN=AN-AM=6-4=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，2）．
當(dāng)x=2時(shí)，y=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)（6，2）
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+2，
則$\left\{\begin{array}{l}{6=4a+2b+2}\\{2=36a+6b+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+2；
（2）分AC為邊和AC為對角線兩種情況．
①當(dāng)AC為邊時(shí)，延長AC交x軸于G，作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，

∵在平行四邊形ACDE中，AC∥DE，
∴∠AGO=∠EDH，
∵BC∥x軸，
∴∠ACM=∠AGO，
∴∠ACM=∠EDH．
在△ACM和△EDH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠EHD}\\{∠MCA=∠HDE}\\{AC=DE}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△EDH（AAS），
∴EH=AM=4，DH=CM=2．
∵E點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$圖象上，
∴x=3，
∴點(diǎn)E（3，4），
∴OH=3，OD=OH-DH=1，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
②當(dāng)AC為對角線時(shí)，設(shè)D（t，0），
∵A（2，6），C（0，2），
∴線段AC的中點(diǎn)為（1，4），
∵四邊形AECD為平行四邊形，
∴線段DE的中點(diǎn)也為（1，4），
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2-t，8），
∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)圖象上，
∴8（2-t）=12，t=$\frac{1}{2}$，
∴D（$\frac{1}{2}$，0），
∴CD=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
綜上可知CD的長為$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角函數(shù)的定義、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想．在（1）中求得B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中分兩種情況分別求得D點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．