【答案】（1）B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）△ABC是直角三角形；（3）（
，0）或（
，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【解析】（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；
（2）分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，結合A、B、C三點的坐標可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結論；
（3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得
或
，可求得N點的坐標．
解：（1）∵頂點坐標為（1，1），
∴設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1，
又拋物線過原點，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，
∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，
聯(lián)立拋物線和直線解析式可得
，解得
或
，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，
則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB=
，BC=3，
∵MN⊥x軸于點N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴當△ABC和△MNO相似時有或，
①當時，則有
=
，即|x||﹣x+2|=
|x|，
∵當x=0時M、O、N不能構成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=
或x=
，
此時N點坐標為（，0）或（，0）；
②當時，則有
=
，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此時N點坐標為（﹣1，0）或（5，0），
綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
“點睛”本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有待定系數(shù)法、圖象的交點問題、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性質及分類討論等．在（1）中注意頂點式的運用，在（3）中設出N、M的坐標，利用相似三角形的性質得到關于坐標的方程是解題的關鍵，注意相似三角形點的對應．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．
