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3.如圖,以長方形OABC的頂點O為原點,OA所在直線為x軸,OC所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.已知OA=3,OC=2,點E是AB的中點,在OA上取一點D,連結(jié)BD,點A關(guān)于BD的對稱點恰好落在線段BC邊上的點F處.
(1)直接寫出點E,F(xiàn)的坐標(biāo);
(2)在線段CB上是否存在一點P,使△OEP為等腰三角形?若存在,求出所有滿足條件的P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)在x軸、y軸上是否分別存在點M、N,使四邊形MNFE的周長最��?如果存在,求出周長的最小值;如果不存在,請說明理由.

分析 (1)△BDA沿BD翻折,使點A落在BC邊上的點F處,可以知道四邊形ADFB是正方形,因而BF=AB=OC=2,則CF=3-2=1,因而E、F的坐標(biāo)就可以求出.
(2)用平面坐標(biāo)系中兩點間的距離公式即可得出線段,再分三種情況用邊相等建立方程求解即可得出結(jié)論.
(3)作點E關(guān)于x軸的對稱點E′,作點F關(guān)于y軸的對稱點F′,連接E′F′,分別與x軸、y軸交于點M,N,則點M,N就是所求點.求出線段E′F′的長度,就是四邊形MNFE的周長的最小值.

解答 解:(1)∵OC=2,四邊形OABC是矩形,
∴AB=OC=2,
∵點E是AB的中點,
∴AE=1,
∵AO=3,
∴E(3,1),
根據(jù)折疊可得DA=DF,
∴DF=CO=2,
∴AD=2,
∴DO=3-2=1,
∴F(1,2),
(2)存在,
理由:
由(1)知,E(3,1),O(0,0)
設(shè)P(a,2)(0≤a≤3),
∴PE=a32+1,PO=a2+4,EO=10,
∵△OEP為等腰三角形,
∴①當(dāng)PE=PO時,∴a32+1=a2+4,
∴a=1,
∴P(1,2);
②當(dāng)PE=EO時,∴a32+1=10,
∴a=0或a=6(舍),
∴P(0,2),
③當(dāng)PO=EO時,∴a2+4=10,
∴a=6或a=-6(舍),
∴P(6,2),
即:滿足條件的點P的坐標(biāo)為(1,2)或(0,2)或(6,2).
(3)如圖2,

作點E關(guān)于x軸的對稱點E′,
作點F關(guān)于y軸的對稱點F′,連接E′F′,分別
與x軸、y軸交于點M、N,連接FN、NM、ME,
此時四邊形MNFE的周長最�。�
∴E′(3,-1),F(xiàn)′(-1,2),
設(shè)直線E′F′的解析式為y=kx+b,
{3k+b=1k+b=2,
解這個方程組,得{k=34b=54,
∴直線E′F′的解析式為y=-34x+54
當(dāng)y=0時,x=53,
∴M點的坐標(biāo)為(53,0).
當(dāng)x=0時,y=54,
∴N點的坐標(biāo)為(0,54).
∵E與E′關(guān)于x軸對稱,F(xiàn)與F′關(guān)于y軸對稱,
∴NF=NF′,ME=ME′.F′B=4,E′B=3.
在Rt△BE′F′中,F(xiàn)'E'=FB2+EB2=5.
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=5.
在Rt△BEF中,EF=BE2+BF2=5
∴FN+NM+ME+EF=F'E'+EF=5+5,
即四邊形MNFE的周長最小值是5+5

點評 此題是四邊形綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,勾股定理,等腰三角形的性質(zhì),求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據(jù)對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離的問題.

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