Question

9．（1）如圖1，已知△ABC中，D是BC的中點，E是AC上一點，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$，連結AD與BE相交于點F，求$\frac{AF}{FD}$的值．
小英、小明和小聰各自經過獨立思考，分別得到一種添加輔助線的方法從而解決了問題，小明的解法是：
解：過點C作CH∥BE交AD的延長線于點H（如圖1-1）．
∵CH∥BE，D是BC的中點，
∴$\frac{FH}{FD}$=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{2}{1}$．
∵CH∥FE，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AF}{FH}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{AF}{FD}$=$\frac{AF}{FH}$•$\frac{FH}{FD}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{1}$=$\frac{2}{3}$．
小英添加的輔助線是：過點D作DG∥BE交AC于點G（如圖1-2）；小聰添加的輔助線是：過點A作AM∥BE交CB的延長線于點M（如圖1-3）；請你在小英和小聰輔助線的添法中選擇一種完成解答．
（2）①如圖2-1，△ABC中，點D是BC的中點，點E是AC上一點，$\frac{AE}{EC}=\frac{a}$，連結AD與BE相交于點F，則$\frac{AF}{FD}$=$\frac{2a}$（用含a、b的式子表示）．
②如圖2-2，△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，$\frac{BD}{DC}$=$\frac{m}{n}$，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{a}$，連結AD與BE相交于點F，求$\frac{AF}{FD}$的值（用含a、b、m、n的式子表示）．
（3）如圖3，△ABC中，點D、E分別在BC、AC上，$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{EC}$=$\frac{2}{3}$，連結AD與BE相交于點F，已知△ABC的面積為45，求△ABF和四邊形CDFE的面積．

Answer 1

分析 （1）小英的方法只要證明求出AE：EG的值即可解決問題．小聰是方法，只要求出BM：BD的值即可．
（2）①如圖2-1中，作DG∥BE交AC于G．想辦法求出AE：EG的值即可解決問題．②方法類似①．
（3）如圖3中，作DG∥BE交AC于G．首先證明AF：DF=2：1，再分別求出△ABD、△BCE、△ABF、△BDF的面積即可．

解答 （1）解：小英添加的輔助線是：過點D作DG∥BE交AC于點G（如圖1-2），
∵DG∥BE，BD=CD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CG}{EG}$=1，
∴EG=CG，
∵EF∥DG，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AE}{EG}$，
∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$，EG=GC，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{2}{3}$．
小聰添加的輔助線是：過點A作AM∥BE交CB的延長線于點M（如圖1-3）；
∵AM∥EB，
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{3}$，
∵BD=DC，
∴$\frac{BM}{DB}$=$\frac{2}{3}$，
∵BF∥AM，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{BM}{BD}$=$\frac{2}{3}$．

（2）解：①如圖2-1中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，BD=CD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CG}{EG}$=1，
∴EG=CG，
∵EF∥DG，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AE}{EG}$，
∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{a}$，EG=GC，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{2a}$，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{2a}$．
故答案為$\frac{2a}$．

②如圖2-2中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，BD=CD，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{EG}{CG}$=$\frac{m}{n}$，
∵EF∥DG，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AE}{EG}$，
∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{a}$，設AE=a，EC=b，EG=mk，CG=nk，
則b=mk+nk，k=$\frac{m+n}$
∴EG=$\frac{mb}{m+n}$，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{a}{\frac{mb}{m+n}}$=$\frac{a（m+n）}{mb}$
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{a（m+n）}{mb}$．

（3）解：如圖3中，作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CG}{EG}$=2，
∴2EG=CG，
∵EF∥DG，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AE}{EG}$，
∵$\frac{AE}{EC}$=$\frac{2}{3}$，GC=2EG，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{2}{1}$，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{2}{1}$，
∵S_△ABC=45，BD：DC=1：2，
∴S_△ABD=$\frac{1}{3}$×45=15，
∵AF：DF=2：1，
∴S_△ABF=$\frac{2}{3}$S_△ABD=$\frac{2}{3}$×15=10，
∴S_△BDF=5，
∵AE：EC=2：3，
∴S_△BEC=$\frac{3}{5}$•S_△ABC=$\frac{3}{5}$×45=27，
∴S_{四邊形EFDC}=S_△ECB-S_△BDF=27-5=22．

點評 本題考查相似三角形綜合題、平行線分線段成比例定理、三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加平行線，利用平行線分線段成比例定理解決問題，屬于中考�？碱}型．