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9.(1)如圖1,已知△ABC中,D是BC的中點,E是AC上一點,AEECAEEC=1313,連結AD與BE相交于點F,求AFFDAFFD的值.
小英、小明和小聰各自經過獨立思考,分別得到一種添加輔助線的方法從而解決了問題,小明的解法是:
解:過點C作CH∥BE交AD的延長線于點H(如圖1-1).
∵CH∥BE,D是BC的中點,
FHFDFHFD=BCBDBCBD=2121
∵CH∥FE,AEECAEEC=1313,
AFFHAFFH=AEECAEEC=1313
AFFDAFFD=AFFHAFFHFHFDFHFD=1313×2121=2323
小英添加的輔助線是:過點D作DG∥BE交AC于點G(如圖1-2);小聰添加的輔助線是:過點A作AM∥BE交CB的延長線于點M(如圖1-3);請你在小英和小聰輔助線的添法中選擇一種完成解答.
(2)①如圖2-1,△ABC中,點D是BC的中點,點E是AC上一點,AEEC=a,連結AD與BE相交于點F,則AFFD=\frac{2a}(用含a、b的式子表示).
②如圖2-2,△ABC中,D、E分別是BC、AC上的點,BDDC=mn,AEEC=\frac{a},連結AD與BE相交于點F,求AFFD的值(用含a、b、m、n的式子表示).
(3)如圖3,△ABC中,點D、E分別在BC、AC上,BDCD=12,AEEC=23,連結AD與BE相交于點F,已知△ABC的面積為45,求△ABF和四邊形CDFE的面積.

分析 (1)小英的方法只要證明求出AE:EG的值即可解決問題.小聰是方法,只要求出BM:BD的值即可.
(2)①如圖2-1中,作DG∥BE交AC于G.想辦法求出AE:EG的值即可解決問題.②方法類似①.
(3)如圖3中,作DG∥BE交AC于G.首先證明AF:DF=2:1,再分別求出△ABD、△BCE、△ABF、△BDF的面積即可.

解答 (1)解:小英添加的輔助線是:過點D作DG∥BE交AC于點G(如圖1-2),
∵DG∥BE,BD=CD,
CDBD=CGEG=1,
∴EG=CG,
∵EF∥DG,
AFDF=AEEG,
AEEC=13,EG=GC,
AEEG=23
AFDF=23
小聰添加的輔助線是:過點A作AM∥BE交CB的延長線于點M(如圖1-3);
∵AM∥EB,
BMBC=AEEC=13,
∵BD=DC,
BMDB=23,
∵BF∥AM,
AFDF=BMBD=23

(2)解:①如圖2-1中,作DG∥BE交AC于G.
∵DG∥BE,BD=CD,
CDBD=CGEG=1,
∴EG=CG,
∵EF∥DG,
AFDF=AEEG,
AEEC=a,EG=GC,
AEEG=\frac{2a},
AFDF=2a
故答案為\frac{2a}

②如圖2-2中,作DG∥BE交AC于G.
∵DG∥BE,BD=CD,
BDCD=EGCG=mn,
∵EF∥DG,
AFDF=AEEG,
AEEC=a,設AE=a,EC=b,EG=mk,CG=nk,
則b=mk+nk,k=m+n
∴EG=mbm+n,
AEEG=ambm+n=am+nmb
AFDF=am+nmb

(3)解:如圖3中,作DG∥BE交AC于G.
∵DG∥BE,
CDBD=CGEG=2,
∴2EG=CG,
∵EF∥DG,
AFDF=AEEG,
AEEC=23,GC=2EG,
AEEG=21,
AFDF=21
∵S△ABC=45,BD:DC=1:2,
∴S△ABD=13×45=15,
∵AF:DF=2:1,
∴S△ABF=23S△ABD=23×15=10,
∴S△BDF=5,
∵AE:EC=2:3,
∴S△BEC=35•S△ABC=35×45=27,
∴S四邊形EFDC=S△ECB-S△BDF=27-5=22.

點評 本題考查相似三角形綜合題、平行線分線段成比例定理、三角形的面積等知識,解題的關鍵是學會添加平行線,利用平行線分線段成比例定理解決問題,屬于中考�?碱}型.

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