3.如圖所示,四邊形ABCD中,AC⊥BD于點O,且AO=CO=12,BO=DO=5,點P為線段AC上的一個動點.
(1)填空:AD=CD=13.
(2)過點P分別作PM⊥AD于M點,作PH⊥DC于H點.
①試說明PM+PH為定值.
②連結(jié)PB,試探索:在點P運動過程中,是否存在點P,使PM+PH+PB的值最��?若存在,請求出該最小值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)在△ADO中,由勾股定理可求得AD=13,由AC⊥BD,AO=CO,可知DO是AC的垂直平分線,由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AD=DC;
(2)連接DP,根據(jù)題意可知:S△ADP+S△CDP=S△ADC,由三角形的面積公式可知:1212AD•PM+12DC•PH=12AC•OD,將AC、OD、AD、DC的長代入化簡即可;
(3))由PM+PH為定值,當(dāng)PB最短時,PM+PH+PB有最小值,由垂線的性質(zhì)可知當(dāng)點P與點O重合時,OB有最小值.

解答 解:(1)∵AC⊥BD于點O,
∴△AOD為直角三角形.
∴AD=AO2+OD2=122+52=13.
∵AC⊥BD于點O,AO=CO,
∴CD=AD=13.
故答案為:13.
(2)如圖1所示:連接PD.

∵S△ADP+S△CDP=S△ADC,
12AD•PM+12DC•PH=12AC•OD,即12×13×PM+12×13×PH=12×24×5
∴13×(PM+PH)=24×5.
∴PM+PH=12013
(3)∵PM+PH為定值,
∴當(dāng)PB最短時,PM+PH+PB有最小值.
∵由垂線段最短可知:當(dāng)BP⊥AC時,PB最短.
∴當(dāng)點P與點O重合時,PM+PH+PB有最小,最小值=12013+5=18513

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了勾股定理、垂線段的性質(zhì)、三角形的面積公式、垂線段的性質(zhì),利用面積以及三角形的面公式求得PM+PH的值是解答問題(2)的關(guān)鍵;利用垂線段的性質(zhì)得到BP垂直于AC時,PM+PH+PB有最小值是解答問題(3)的關(guān)鍵.

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