Question

對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)），下列說法：
①方程的解為x=

-b± b2-4ac

2a

；
②若b=a+c，則方程必有一根為x=-1；
③若b=2a+

1

2

c，則一元二次方程ax²+bx+c=0必有一根為x=-2；   
④若ac＜0，則方程cx²+bx+a=0有兩個不等實數(shù)根；     
⑤若b²-4ac=0，則方程cx²+bx+a=0有兩個相等的實數(shù)根，
正確的結論是

 

．

Answer 1

考點：根的判別式,一元二次方程的解,解一元二次方程-公式法

專題：

分析：①只有當△=b²-4ac＞0時，方程的解為x=

-b± b2-4ac

2a

，由此即可判定說法錯誤；
②首先把b=a+c變?yōu)閍-b+c=0，當x=-1時，ax²+bx+c=a-b+c，由此即可判定說法正確；
③首先把b=2a+

1

2

c變?yōu)?a-2b+c=0，當x=-2時，ax²+bx+c=4a-2b+c，由此即可判定說法正確；
④首先由ac＜0，可得方程cx²+bx+a=0是一元二次方程，再根據(jù)△=b²-4ac＞0，可得方程cx²+bx+a=0有兩個不等實數(shù)根，由此即可判定說法正確；  
⑤只有當c≠0時，方程cx²+bx+a=0是一元二次方程，若b²-4ac=0，則方程cx²+bx+a=0有兩個相等的實數(shù)根，由此即可判定說法錯誤．

解答：解：①對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)），
當△=b²-4ac＜0時，方程無解；
當△=b²-4ac≥0時，方程的解為x=

-b± b2-4ac

2a

，故原說法錯誤；
②∵b=a+c，
∴a-b+c=0，
∴當x=-1時，ax²+bx+c=a-b+c=0，
∴x=-1為方程ax²+bx+c=0的一根，故原說法正確；
③∵b=2a+

1

2

c，
∴4a-2b+c=0，
∴當x=-2時，ax²+bx+c=4a-2b+c=0，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0必有一根為x=-2，故原說法正確；
④∵ac＜0，
∴c≠0，方程cx²+bx+a=0是一元二次方程，
∵△=b²-4ac＞0，
∴方程cx²+bx+a=0有兩個不等實數(shù)根，故原說法正確；  
⑤當c≠0時，方程cx²+bx+a=0是一元二次方程，若b²-4ac=0，則方程cx²+bx+a=0有兩個相等的實數(shù)根；
當c=0時，b=0，方程cx²+bx+a=0不可能有兩個相等的實數(shù)根，故原說法錯誤．
故答案為②③④．

點評：此題主要考查了一元二次方程的判別式和方程的解等知識，是基礎題，需熟練掌握．