Question

4．設N=8888⁸⁸⁸⁸寫成十進制數時，它的各位數字之和是A，而A的各位數字之和是B，B的各位數字之和是C．則C是（　　）

• A． 11
• B． 7
• C． 9
• D． 4

Answer 1

分析 根據一個十進制數被9除余幾，它的各位數字之和被9除也余幾；又因為一個數被9除余1，它的任意正整數次冪被9除也余1，得出N，A，B，C被9除的余數相同，再分析N除9的余數，最后根據N的位數得出A的范圍，再根據A的范圍確定出B的范圍，進而得出C的范圍，最后利用余數即可得出結論．

解答 解：由于一個十進制數被9除余幾，它的各位數字之和被9除也余幾；
又因為一個數被9除余1，它的任意正整數次冪被9除也余1，這樣就有N，A，B，C被9除的余數相同，
N=8888⁸⁸⁸⁸=8⁸⁸⁸⁸•1111⁸⁸⁸⁸，
而8⁸⁸⁸⁸=64⁴⁴⁴⁴，64除以9余1，
∴64⁴⁴⁴⁴除以9也余1，
即8⁸⁸⁸⁸除以9也余1，
∵1111⁸⁸⁸⁸=（1107×9+4）⁸⁸⁸⁸=9k₁+4⁸⁸⁸⁸，而4⁸⁸⁸⁸=4⁸⁸⁸⁶×16=64²⁹⁶²×16，
因此，64²⁹⁶²除以9余1，而16除以9余7，即：4⁸⁸⁸⁸除以9余7，
∴1111⁸⁸⁸⁸除以9余7，從而N除以9余7，
∴N，A，B，C除以9均余7，
∵N的位數小于4×8888=35552，
因此，N的各位數字之和A＜9×35552=319968，
而小于319968的多位數的各位數字之和最大是2+5×9=47，
即B≤47，而小于等于47的數的各位數字之和最大是3+9=12，
從而C≤12，又C除以9余7，
故C=7，
故選B．

點評 此題是帶余除法，解本題的根據是十進制數被9除余幾，它的各位數字之和被9除也余幾和一個數被9除余1，它的任意正整數次冪被9除也余1；是一道難度比較大的競賽題．