Question

【題目】對于函數(shù)和，若存在常數(shù)，對于任意，不等式都成立，則稱直線是函數(shù)的分界線. 已知函數(shù)為自然對數(shù)的底， 為常數(shù)

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)設(shè)，試探究函數(shù)與函數(shù)是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】【試題分析】（１）先對函數(shù)的解析式進行求導(dǎo)，再運用分類整合思想分類探求；（２）依據(jù)題設(shè)條件先假設(shè)分界線的存在，然后再建立不等式運用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系進行分析求解：

(1)

當時， ，所以在上單調(diào)遞增.

當時，

當時， 在上，所以單調(diào)遞減； 在上，所以單調(diào)遞增.

當時， 在上，所以單調(diào)遞增； 在上，所以單調(diào)遞減.

(2)假設(shè)存在直線，使不等式

當時，由于，所以

所以， 恒成立，所以恒成立.

令，解得，所以只需不等式恒成立

設(shè)，則

在上單調(diào)遞增，且

當時， ，所以單調(diào)遞減；當時， ，所以單調(diào)遞增.

，所以不等式恒成立

綜上所述，函數(shù)與函數(shù)存在分界線，其分界線方程為