分析 (1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),由偶函數(shù)的定義,可得b=0,求得a=1,進(jìn)而得到f(x)的解析式;
(2)求出g(x)的解析式,求得導(dǎo)數(shù),分解因式,判斷g(x)在[1,2]的單調(diào)性,可得最值,要滿足題意,只需c≥|g(x1)-g(x2)|max,計(jì)算即可得到c的最小值;
(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),求出函數(shù)y的導(dǎo)數(shù),切線的斜率和方程,代入(2,m),可得m=-3x04+8x03+3x02-12x0,(*)設(shè)h(x)=-3x4+8x3+3x2-12x,求出h(x)的導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間,可得極值,由條件即可得到m的值.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3ax2+2bx-3,
f′(x)是偶函數(shù),可得f′(-x)=f′(x),
即3ax2+2bx-3=3ax2-2bx-3,解得b=0,
又f′(1)=0,即3a-3=0,解得a=1,
即有f(x)=x3-3x;
(2)g(x)=13f(x)-6lnx=13x3-x-6lnx,
g′(x)=x2-1-6x=x3−x−6x=x3−8−(x−2)x=(x−2)(x2+2x+3)x,
由x∈[1,2],g′(x)<0,g(x)在[1,2]遞減,
可得g(x)max=g(1)=-23,g(x)min=g(2)=23-6ln2,
若要滿足題意,只需c≥|g(x1)-g(x2)|max=g(1)-g(2)=-43+6ln2,
即cmin=-43+6ln2;
(3)y=xf(x)=x4-3x2,設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),y0=x04-3x02,
導(dǎo)數(shù)y′=4x3-6x,切線的斜率k=4x03-6x0,
切線的方程為y-(x04-3x02)=(4x03-6x0)(x-x0),
將(2,m)代入可得m-(x04-3x02)=(4x03-6x0)(2-x0)
m=-3x04+8x03+3x02-12x0,(*)
設(shè)h(x)=-3x4+8x3+3x2-12x,
可得h′(x)=-12x3+24x2+6x-12=-6(x-2)(2x2-1),
由h′(x)>0可得x<-√22或√22<x<2;
由h′(x)<0可得-√22<x<√22或x>2.
即有h(x)在(-∞,-√22),(√22,2)遞增;在(2,+∞),(-√22,√22)遞減.
可得h(x)在x=-√22處取得極大值34+4√2;在x=2處取得極大值為4;
在x=√22處取得極大值34-4√2.
可得m=4或34-4√2時,(*)有三解.
綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是{4,34-4√2}.
點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,考查不等式恒成立問題的解法,注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,考查構(gòu)造函數(shù)法,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得極值,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=ex | B. | y=sin2x | C. | y=-x3 | D. | y=log{\;}_{\frac{1}{2}}}x |
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A. | 3 | B. | 5 | C. | 7 | D. | 9 |
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A. | 98 | B. | 99 | C. | 100 | D. | 101 |
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