分析 (1)通過(guò)代入函數(shù)解析式化簡(jiǎn)可知an+1=an+23,進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論;
(2)通過(guò)(1)可知Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1),進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論;
(3)當(dāng)n≥2時(shí)裂項(xiàng)可知bn=92(12n−1-12n+1),進(jìn)而并項(xiàng)相加可知Sn=9n2n+1,從而可知9n2n+1<m−20072,進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式m−20072≥92,計(jì)算即得結(jié)論.
解答 解:(1)依題意,an+1=2+3an3=an+23,
∴數(shù)列{an}是以23為公差的等差數(shù)列,
又∵a1=1,
∴an=23n+13;
(2)由(1)可知Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)
=-43(a2+a4+…+a2n)=-43•n(53+4n3+13)2
=-49(2n2+3n);
(3)當(dāng)n≥2時(shí),bn=1an−1an=1(23n−13)(23n+13)=92(12n−1-12n+1),
又∵b1=3=92×(1-13)滿(mǎn)足上式,
∴Sn=b1+b2+…+bn
=92×(1-13+13-15+…+12n−1-12n+1)
=92(1-12n+1)
=9n2n+1,
∵Sn<m−20072對(duì)一切n∈N*成立,即9n2n+1<m−20072,
又∵9n2n+1=92(1-12n+1)遞增,且9n2n+1<92,
∴m−20072≥92,即m≥2016,
∴最小正整數(shù)m=2016.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查運(yùn)算求解能力,考查裂項(xiàng)相消法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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A. | -21 | B. | -19 | C. | 19 | D. | 21 |
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