Question

16．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（ I）求證：AC⊥BD₁；
（Ⅱ）是否存在直線與直線 AA₁，CC₁，BD₁都相交？若存在，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出兩條滿(mǎn)足條件的直線（不必說(shuō)明畫(huà)法及理由）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD，推導(dǎo)出D₁D⊥AC，AC⊥BD．由此能證明AC⊥BD₁．
（Ⅱ）作出滿(mǎn)足條件的直線一定在平面ACC₁A₁中，且過(guò)BD₁的中點(diǎn)并與直線A₁A，C₁C相交．

解答 （本題滿(mǎn)分9分）
（Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)BD．
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴D₁D⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，∴D₁D⊥AC．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵BD∩D₁D=D，∴AC⊥平面BDD₁．
∵BD₁?平面BDD₁，∴AC⊥BD₁．…（5分）
（Ⅱ）存在．答案不唯一，
作出滿(mǎn)足條件的直線一定在平面ACC₁A₁中，
且過(guò)BD₁的中點(diǎn)并與直線A₁A，C₁C相交．
下面給出答案中的兩種情況，
其他答案只要合理就可以給滿(mǎn)分．（9分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查滿(mǎn)足條件的直線的作法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真題、注意空間思維能力的培養(yǎng)．