Question

已知函數(shù)f（x）=

3x，x≥0 πx，x＜0

，若對(duì)任意x∈[-1-a，a-1]，不等式f（

2

x-a）≥[f（x）]²恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=

3x，x≥0 πx，x＜0

，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，不等式f（

2

x-a）≥[f（x）]²恒成立等價(jià)為3

2

x-a≥(3x)2=32x成立，即

2

x-a≥2x，x≤

1

2 -2

a=-

2+ 2

2

a成立，
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式f（

2

x-a）≥[f（x）]²恒成立等價(jià)為π

2

x-a≥(πx)2=π2x成立，即

2

x-a≥2x，x≤

1

2 -2

a=-

2+ 2

2

a成立，
綜上當(dāng)x∈[-1-a，a-1]，x≤-

2+ 2

2

a成立，
即

a-1≥-1-a a-1≤- 2+ 2 2 a

，
即

a≥0 a≤ 2 4+ 2 = 4- 2 7

，
即0≤a≤

4- 2

7

，
當(dāng)a=0時(shí)，定義域?yàn)閧-1}，此時(shí)f（

2

x-a）=f（-

2

）無(wú)意義，
∴a≠0，
即0≤a≤

4- 2

7

，
故答案為：（0，

4- 2

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的恒成立問(wèn)題，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．