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4．

如圖，已知圓E：（x+

$\sqrt{3}$ ）²+y²=16，點F（

$\sqrt{3}$ ，0），P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（1）求動點Q的軌跡Γ的方程；
（2）已知A，B，C是軌跡Γ的三個動點，點A在一象限，B與A關于原點對稱，且|CA|=|CB|，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相應直線AB的方程；若不存在，請說明理由．

分析（1）連結QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞2 $\sqrt{3}$ ，可得動點Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓，即可求出動點Q的軌跡Γ的方程；
（2）設直線AB的方程為y=kx，與橢圓方程聯(lián)立，求出A的坐標，同理可得點C的坐標，進而表示出△ABC的面積，利用基本不等式，即可得出結論．

解答解：（1）Q在線段PF的垂直平分線上，所以QP=QF；得QE+QF=QE+QP=PE=4，
又 $EF=2\sqrt{3}＜4$ ，得Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓．
∴動點Q的軌跡Γ的方程 $τ：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$ ．
（2）由點A在一象限，B與A關于原點對稱，設AB：y=kx（k＞0），|CA|=|CB|，
∴C在AB的垂直平分線上，∴ $CD：y=-\frac{1}{k}x$ ．
$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（1+4{k^2}）{x^2}=4$ ， $|{AB}|=2|{OA}|=2\sqrt{{x^2}+{y^2}}=4\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{4{k^2}+1}}}$ ，
同理可得 $|{OC}|=2\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{k^2}+4}}}$ ，
則S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|= $\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$ ．
由于 $\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}$ ≤ $\frac{5（1+{k}^{2}）}{2}$ ，
所以S_△ABC=2S_△OAC≥ $\frac{8}{5}$ ，當且僅當1+4k²=k²+4（k＞0），|即k=1時取等號．△ABC的面積取最小值 $\frac{8}{5}$ ．
直線AB的方程為y=x．

點評本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

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80后	45	10	55
合計	75	25	100

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（Ⅱ）根據(jù)調查數(shù)據(jù)，是否有90%以上的把握認為“生二胎與年齡有關”，并說明理由．
參考數(shù)據(jù)：