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20.如圖所示,在平面四邊形ABCD中,AB=4,AD=2,∠DAB=60°,∠BCD=120°,則四邊形ABCD的面積的最大值是33

分析 由題意和三角形的面積公式易得S△ABD,設(shè)∠CBD=θ,在三角形BCD中由正弦定理可得DC=4sinθ,BC=4sin(60°-θ),可得四邊形ABCD的面積S=23+43sinθsin(60°-θ),化簡由三角函數(shù)的最值可得.

解答 解:在三角形ABD中,由余弦定理可得BD=22+422×2×4×12=23,
∴S△ABD=12•AD•AB•sin60°=23,設(shè)∠CBD=θ,
在三角形BCD中由正弦定理可得DCsinθ=BCsin60°θ=BDsin120°=4,
變形可得DC=4sinθ,BC=4sin(60°-θ),
∴S△BCD=12•DC•BC•sin∠BCD=43sinθsin(60°-θ),
∴四邊形ABCD的面積S=23+43sinθsin(60°-θ)
=23+43sinθ(32cosθ-12sinθ)
=23+(6sinθcosθ-23sin2θ)
=23+(3sin2θ-3+3cos2θ)
=3+2332sin2θ+12cos2θ)
=3+23sin(2θ+30°)
又0°<θ<60°,∴當且僅當θ=30°時,S取最大值33

點評 本題考查正余弦定理解三角形,涉及三角形的面積公式和三角函數(shù)的最值,屬中檔題.

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