分析 由題意和三角形的面積公式易得S△ABD,設(shè)∠CBD=θ,在三角形BCD中由正弦定理可得DC=4sinθ,BC=4sin(60°-θ),可得四邊形ABCD的面積S=2√3+4√3sinθsin(60°-θ),化簡由三角函數(shù)的最值可得.
解答 解:在三角形ABD中,由余弦定理可得BD=√22+42−2×2×4×12=2√3,
∴S△ABD=12•AD•AB•sin60°=2√3,設(shè)∠CBD=θ,
在三角形BCD中由正弦定理可得DCsinθ=BCsin(60°−θ)=BDsin120°=4,
變形可得DC=4sinθ,BC=4sin(60°-θ),
∴S△BCD=12•DC•BC•sin∠BCD=4√3sinθsin(60°-θ),
∴四邊形ABCD的面積S=2√3+4√3sinθsin(60°-θ)
=2√3+4√3sinθ(√32cosθ-12sinθ)
=2√3+(6sinθcosθ-2√3sin2θ)
=2√3+(3sin2θ-√3+√3cos2θ)
=√3+2√3(√32sin2θ+12cos2θ)
=√3+2√3sin(2θ+30°)
又0°<θ<60°,∴當且僅當θ=30°時,S取最大值3√3
點評 本題考查正余弦定理解三角形,涉及三角形的面積公式和三角函數(shù)的最值,屬中檔題.
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A. | -i | B. | i | C. | 1 | D. | -1 |
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A. | 16π3 | B. | 32π3 | C. | 4√3 | D. | 16π |
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A. | y=|tanx| | B. | y=lgx+1x−1 | C. | y=x13 | D. | y=x-2 |
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A. | 49 | B. | 94 | C. | 74 | D. | 2 |
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