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4.已知△ABC中,三條邊a,b,c所對(duì)的角分別為A、B、C,且a2+b2-c2=ab
(Ⅰ)求角C的大��;
(Ⅱ)若f(x)=3sinxcosx+cos2x,求f(B)的最大值,并判斷此時(shí)△ABC;的形狀.

分析 (Ⅰ)由已知利用余弦定理可得cosC=12,結(jié)合范圍C∈(0,π),可求C的值.
(Ⅱ)由題意,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得f(B)=sin(2B+\frac{π}{6})+\frac{1}{2},結(jié)合B的范圍可求2B+\frac{π}{6}∈(\frac{π}{6},\frac{3π}{2}),利用正弦函數(shù)的圖象函數(shù)性質(zhì)可求最大值,進(jìn)而可求B,利用三角形內(nèi)角和定理可求A,即可得解.

解答 解:(Ⅰ)∵a2+b2-c2=ab,
∴由余弦定理可得:cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2},
∵C∈(0,π),
∴C=\frac{π}{3}
(Ⅱ)∵f(x)=\sqrt{3}sinxcosx+cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}=sin(2x+\frac{π}{6})+\frac{1}{2},
又∵C=\frac{π}{3},可得:B∈(0,\frac{2π}{3}),可得:2B+\frac{π}{6}∈(\frac{π}{6},\frac{3π}{2}),
∴f(B)=sin(2B+\frac{π}{6})+\frac{1}{2}≤1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},當(dāng)且僅當(dāng)2B+\frac{π}{6}=\frac{π}{2},即B=\frac{π}{6}時(shí),等號(hào)成立,
∴A=π-B-C=\frac{π}{2},
∴f(B)的最大值為\frac{3}{2},此時(shí)△ABC為直角三角形.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象函數(shù)性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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