Question

函數f(x)=

1

3

x3+

a

2

x2+(a2-1)x+1，x∈R．
（1）如果函數f（x）在點A（2，f（2））處的切線的斜率等于3，求實數a的值；
（2）如果函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上無極值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求得f'（x）=x²+ax+a²-1，根據已知條件可得f′（2）=3，可以得出a值；
（2）函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上無極值，分類兩種情況討論：①f′（x）=0其△≤0，②f′（x）=0其△＞0，則f′（x）=0的二根應小于等于1，利用實根分布尋找關于a的不等式，求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由條件，f′（x）=x²+ax+a²-1，
由導數的幾何意義可得f′（2）=3，解得a=0或-2；
（2）函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上無極值，則
①f′（x）=0其△≤0，則f（x）在R上單調遞增，
則f（x）在區(qū)間[1，+∞）上無極值，解得-

2 3

3

≤a≤

2 3

3

；
②f′（x）=0其△＞0，則f′（x）=0的二根應小于等于1，
由實根分布可得，

f′(1)≥0⇒a≤-1或a≥0 △＞0⇒a＞ 2 3 3 或a＜- 2 3 3 - a 2 ＜1⇒a＞-2

⇒a＞

2 3

3

；
綜上，a≥-

2 3

3

．

點評：本題主要考查了函數的單調性與函數導數的關系的應用，考查了一元二次方程的根的分布與系數的關系，體現了方程函數與轉化思想的應用．