Question

設f（x）=e^x+2ax-1，且f′（ln2）=2ln2
（1）求a的值；
（2）證明：當x＞0時f（x）＞x²．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f'（x）=e^x+2a，得f'（ln2）=e^ln2+2a=2ln2，從而求出a的值；
（2）由（1）得f（x）=e^x+2（ln2-1）x-1令g（x）=f（x）-x²=e^x+2（ln2-1）x-1-x²由h（x）=g'（x）=e^x-2x+2（ln2-1），從而h'（x）=e^x-2，得g'（x）在（ln2，+∞）上遞增；即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，于是g（x）＞g（0）=e⁰-1=0，進而e^x+2（ln2-1）x-1＞x²，

解答： 解：（1）∵f'（x）=e^x+2a
∴f'（ln2）=e^ln2+2a=2ln2，
解得a=ln2-1；
（2）由（1）得f（x）=e^x+2（ln2-1）x-1
令g（x）=f（x）-x²=e^x+2（ln2-1）x-1-x²
由h（x）=g'（x）=e^x-2x+2（ln2-1），
h'（x）=e^x-2，
令h'（x）=0，解得x=ln2
∴當x∈（0，ln2）時h'（x）＜0，
∴g'（x）在（0，ln2）上遞減，
當x∈（ln2，+∞）時，h'（x）＞0，
∴g'（x）在（ln2，+∞）上遞增；
∴g′(x)min=g′(ln2)=eln2-2ln2+2(ln2-1)=0
即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
∴g（x）在（0，+∞）上遞增，
∴g（x）＞g（0）=e⁰-1=0
即e^x+2（ln2-1）x-1-x²＞0
∴e^x+2（ln2-1）x-1＞x²
即f（x）＞x²．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，不等式的證明，是一道綜合題．