Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，點， 分別是棱， 上的點，且．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】【試題分析】（1）先運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，再運(yùn)用面面垂直的判定定理進(jìn)行分析推證平面 平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量的坐標(biāo)形式的運(yùn)算及空間向量的數(shù)量積公式求兩個半平面的法向量，再運(yùn)用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解：

（Ⅰ）證明：取線段的中點，取線段的中點，連接， ， ，則，

又，

∴是平行四邊形，故．

∵，平面平面，平面平面 ，

∴平面，而，

∴平面，

∵平面，

∴平面 平面．

（Ⅱ）以、、為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ， ， ，

設(shè)平面的一個法向量，

則有即

令，則，

設(shè)平面的一個法向量，

則有即

令，則，

設(shè)二面角的平面角，

則．