Question

11．若函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+c有極值點x₁，x₂（x₁＞x₂），f（x₁）=x₁，則關于x的方程[f（x）]²+2af（x）+b=0的不同實數根的個數是3．

Answer 1

分析 首先對f（x）求導，則關于x的方程[f（x）]²+2af（x）+b=0，則有f（x）=x₁ 或 f（x）=x₂； 再利用方程的根與圖形交點的關系來判斷交點個數．

解答 解：對f（x）求導得：f'（x）=x²+2ax+b；
f（x）有極值點x₁，x₂ 對應于f'（x）=0的兩個零點；
關于x的方程[f（x）]²+2af（x）+b=0，則有f（x）=x₁ 或 f（x）=x₂；
由圖形知y=x₁ 與f（x）有2個交點；
∵x₁＞x₂，故y=x₂ 與f（x）有1個交點；
故答案為：3

點評 本題主要考查了方程與函數的轉化關系與根個數問題，以及數學結合思想的應用，屬中等偏上題．