Question

8．過M（1，3）引圓x²+y²=2的切線，切點分別為A、B，則△AMB的面積為（　　）

• A． $\frac{32}{5}$
• B． 4
• C． $\frac{16}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 作出圖象易得sin∠OMB，進而可得cos∠AMB和sin∠AMB=$\frac{4}{5}$，代入三角形的面積公式計算可得．

解答 解：如圖，由題意可得|OM|=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由勾股定理可得|MA|=|MB|=$\sqrt{O{M}^{2}-O{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故sin∠OMB=$\frac{OB}{OM}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠AMB=cos2∠OMB=2cos²∠OMB-1=-$\frac{3}{5}$，
故sin∠AMB=$\frac{4}{5}$，三角形面積S=$\frac{1}{2}$×|MA|×|MB|×sin∠AMB=$\frac{16}{5}$，
故選：C．

點評 本題考查圓的切線問題，涉及勾股定理和三角形的面積公式以及三角函數(shù)公式，屬基礎(chǔ)題．