Question

（2009•大連二模）已知定點A（0，2），B（0，-2），C（2，0），動點P滿足：

AP

•

BP

=m|

pc

|2
（I）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型；
（II）當m=2時，設(shè)點P（x，y）（y≥0），求

y

x-8

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出動點坐標，求出向量

AP

，

BP

，

PC

的坐標，直接代入

AP

•

BP

=m|

pc

|2后整理得到動點P的軌跡方程，然后對m分類說明方程所表示的曲線；
（Ⅱ）當m=2時，得到點P的具體方程，求

y

x-8

的取值范圍，其幾何意義就是軌跡上的動點與定點（8，0）連線的斜率范圍，用圓心到直線的距離等于半徑求解．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動點的坐標為P（x，y），則

AP

=（x，y-2），

BP

=（x，y+2），

PC

=（2-x，-y）
∵

AP

•

BP

=m|

PC

|²，
∴(x，y-2)•(x，y+2)=m(

(2-x)2+(-y)2

)2
∴x²+y²-4=m[（x-2）²+y²]
即（1-m）x²+（1-m）y²+4mx-4m-4=0，
若m=1，則方程為x=2，表示過點（2，0）且平行于y軸的直線；
若m≠1，則方程化為：(x-

2m

m-1

)2+y2=(

2

m-1

)2，表示以（

2m

m-1

，0）為圓心，以

2

|1-m|

 為半徑的圓；   
（Ⅱ）當m=2時，方程化為（x-4）²+y²=4；
設(shè)

y

x-8

=k，則y=kx-8k，圓心（4，0）到直線y=kx-8k的距離d=

|4k-8k|

k2+1

=2時，
解得k=±

3

3

，又y≥0，所以點P（x，y）所在圖形為上半個圓（包括與x軸的兩個交點），
故直線與半圓相切時k=-

3

3

；
當直線過x軸上的兩個交點時知k=0；
因此

y

8-x

的取值范圍是[-

3

3

，0]．

點評：本題考查了圓錐曲線的方程的求法，練習了向量在解析幾何中的應(yīng)用，解答（Ⅱ）的關(guān)鍵在于對式子

y

x-8

的幾何意義的理解，是中檔題．