【題目】如圖,矩形中,
,
,
為
的中點,點
,
分別在線段
,
上運動(其中
不與
,
重合,
不與
,
重合),且
,沿
將
折起,得到三棱錐
,則三棱錐
體積的最大值為__________;當(dāng)三棱錐
體積最大時,其外接球的表面積的值為_______________.
【答案】
【解析】
(1)依題意設(shè),則
,利用椎體體積公式列式,再根據(jù)二次函數(shù)頂點式和正弦函數(shù)的取值范圍得出最大值.
(2)依題意建立如圖空間直角坐標系,列出各點的坐標,設(shè)球心坐標, 根據(jù)球心到各點距離等半徑求球心坐標,即可得出半徑,最后求出三棱錐的外接球面積.
解:依題意設(shè),
則,
因為,所以
,
與平面
所成角為
當(dāng),
時三棱錐
體積取得最大值.
所以三棱錐體積的最大值為
.
故答案為:
(2)由(1)知道三棱錐體積取得最大值時,
與平面
所成角
,即
平面
,
折起如圖所示:依題意可建立如圖所示空間直角坐標系:
所以,
,
,
設(shè)三棱錐外接球的球心為
解,所以
外接球面積為.
故答案為:
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓錐的頂點為A,高和底面的半徑相等,BE是底面圓的一條直徑,點D為底面圓周上的一點,且∠ABD=60°,則異面直線AB與DE所成角的正弦值為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),若以O為極點,x軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為
.
(1)求曲線C的直角坐標方程及直線l的普通方程;
(2)將所得曲線C向右平移1個單位長度,再將曲線C上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,得到曲線,求曲線
上的點到直線l的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法:如圖1,用對角線將長和寬分別為和
的矩形分成兩個直角三角形,每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形(黃)和兩個小直角三角形(朱、青).將三種顏色的圖形進行重組,得到如圖2所示的矩形.該矩形長為
,寬為內(nèi)接正方形的邊長
.由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論,如圖3.設(shè)
為斜邊
的中點,作直角三角形
的內(nèi)接正方形對角線
,過點
作
于點
,則下列推理正確的是( )
①由圖1和圖2面積相等得;
②由可得
;
③由可得
;
④由可得
.
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了莖葉圖:則下列結(jié)論中表述不正確的是
A. 第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需要的時間至少80分鐘
B. 第二種生產(chǎn)方式比第一種生產(chǎn)方式的效率更高
C. 這40名工人完成任務(wù)所需時間的中位數(shù)為80
D. 無論哪種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需要的時間都是80分鐘.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
是自然對數(shù)的底數(shù),
是函數(shù)
的導(dǎo)數(shù).
(1)若是
上的單調(diào)函數(shù),求
的值;
(2)當(dāng)時,求證:若
,且
,則
.
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【題目】已知橢圓的普通方程為:
,以坐標原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
,正方形
的頂點都在
上,且
逆時針依次排列,點
的極坐標為
(1)寫出曲線的參數(shù)方程,及點
的直角坐標;
(2)設(shè)為橢圓
上的任意一點,求:
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)點是拋物線
的焦點,直線
與拋物線
相切于點
(點
位于第一象限),并與拋物線
的準線相交于點
.過點
且與直線
垂直的直線
交拋物線
于另一點
,交
軸于點
,連結(jié)
.
(1)證明:為等腰三角形;
(2)求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近期,西安公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動,活動設(shè)置了一段時間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,表示活動推出的天數(shù),
表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表下所示:
根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了散點圖.
(1)根據(jù)散點圖判斷,在推廣期內(nèi),與
(
均為大于零的常數(shù)),哪一個適宜作為掃碼支付的人次
關(guān)于活動推出天數(shù)
的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由);
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù),建立與
的回歸方程,并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支付的人次;
(3)推廣期結(jié)束后,車隊對乘客的支付方式進行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:
西安公交六公司車隊為緩解周邊居民出行壓力,以萬元的單價購進了一批新車,根據(jù)以往的經(jīng)驗可知,每輛車每個月的運營成本約為
萬元.已知該線路公交車票價為
元,使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠,使用乘車卡支付的乘客享受
折優(yōu)惠,掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠,根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知,使用掃碼支付的乘客中有
的概率享受
折優(yōu)惠,有
的概率享受
折優(yōu)惠,有
的概率享受
折優(yōu)惠.預(yù)計該車隊每輛車每個月有
萬人次乘車,根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,在不考慮其它因素的條件下,按照上述收費標準,假設(shè)這批車需要
(
)年才能開始盈利,求
的值.
參考數(shù)據(jù):
其中其中,
,
參考公式:對于一組數(shù)據(jù),
,
,
,其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
,
.
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