Question

（1）如圖，對于任一給定的四面體，找出依次排列的四個相互平行的平面，使得，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；

（2）給定依次排列的四個相互平行的平面，其中每相鄰兩個平面間的距離都為1，若一個正四面體的四個頂點滿足，求該正四面體的體積.

Answer 1

【解析】

（1）如圖所示，取的三等分點，，的中點，

的中點，過三點，，作平面，過三點，，作平面，因為∥,∥,所以平面∥平面，再過點，分別作平面，與平面平行，那么四個平面，，，依次相互平行，由線段被平行平面，，，截得的線段相等知，期中每相鄰兩個平面間的距離相等，故，，，為所求平面.

（2）解法一：當(dāng)（1）中的四面體為正四面體，若所得的四個平行平面，每相鄰兩平面之間的距離為1，則正四面體就是滿足題意的正四面體.設(shè)正四面體的棱長為，以的中心為坐標(biāo)原點，以直線為軸，直線為軸建立如圖的右手直角坐標(biāo)系，

則，，，

令，為的三等分點，為的中點，有

，,所以，，

設(shè)平面的法向量為，有，即

所以，.因為，，，相鄰平面之間的距離為1，所以點到平面的距離

，解得

由此可得，邊長為的正四面體滿足條件.

所以所求正四面體的體積.

解法二：如圖，現(xiàn)將此正四面體置于一個正方體中，（或者說，在正四面體的四個面外側(cè)各鑲嵌一個直角正三棱錐，得到一個正方體），

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

，分別是，的中點，和是兩個平行平面，若其距離為1，則正四面體即為滿足條件的正四面體.右圖是正方體的上底面，現(xiàn)設(shè)正方體的棱長為，若，則有，

據(jù)，得，

于是正四面體的棱長，其體積.

（即等于一個棱長為的正方體割去四個直角正三棱錐后的體積）