Question

17．設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y-\sqrt{2}≤0}\\{x-2y-\sqrt{2}≤0}\end{array}\right.$，則x+3y的取值集合中，整數(shù)的個數(shù)為（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 作出可行域，利用平移求出最大值和最小值，結(jié)合x+3y是整數(shù)進行判斷即可．

解答 解：由z=x+3y，得$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，作出不等式對應(yīng)的可行域，
平移直線$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，由平移可知當直線$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，
經(jīng)過點C時，直線$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，的截距最大，
此時z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y-\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
代入z=x+3y，得z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+3×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，
即目標函數(shù)z=x+3y的最大值為2$\sqrt{2}$，
當直線經(jīng)過A時，直線$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$的截距最小，
此時z取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x-2y-\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，即A（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
此時z=-$\sqrt{2}$-3×$\sqrt{2}$=-4$\sqrt{2}$，
即-4$\sqrt{2}$≤z≤2$\sqrt{2}$，
其中x+3y為整數(shù)，則z=-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2共有8個，
故選：C

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．