Question

已知|F₁F₂|=m，點(diǎn)P到兩點(diǎn)F₁、F₂距離之差的絕對值為n（n＜m）．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，過F₁作AB⊥F₁F₂且交曲線C于點(diǎn)A、B，若△ABF₂是直角三角形，則

m

n

的值為（　　）

• A、

  2

  +

  1

  4

• B、

  2

  +1
• C、

  2

  -1
• D、

  2

  -

  1

  4

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意求得點(diǎn)P的軌跡為C的方程，結(jié)合△ABF₂是直角三角形列關(guān)于m，n的等式，化為關(guān)于

m

n

的方程得答案．

解答： 解：∵|F₁F₂|=m，點(diǎn)P到兩點(diǎn)F₁、F₂距離之差的絕對值為n（n＜m），
∴P點(diǎn)軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，以n為實(shí)軸長的雙曲線，
則2a=n，2c=m，
∴a=

n

2

，c=

m

2

，b2=c2-a2=

m2-n2

4

，
不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，
∴點(diǎn)P的軌跡為C為：

x2

n2 4

-

y2

m2-n2 4

=1．
取x=-

m

2

，得

y2

m2-n2 4

=

m2 4

n2 4

-1=

m2-n2

n2

，
∴y2=

(m2-n2)2

4n2

，
∴y=±

m2-n2

2n

，
由△ABF₂是直角三角形，得m=

m2-n2

2n

，
即(

m

n

)2-2

m

n

-1=0，解得：

m

n

=

2

+1或

m

n

=1-

2

（舍）．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線方程的求法，考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．