Question

11．數(shù)列{a_n}是由1，2，3，…2016的一個排列構成的數(shù)列，設任意m個相鄰的和構成集合B，即B={x|x=$\sum_{i=1}^{n}$a_n+i，n=0，1，2，…，2016-m}．
（Ⅰ）若m=8，求B中元素的最大值；
（Ⅱ）下列情況下，集合B能否為單元素集，若能，寫出一個對應的數(shù)列{a_n}，若不能，說明理由．
①m=8，n=8k，k=0，1，2，…，251；
②m=3，n=3k，k=0，1，2，…，671．
（Ⅲ）對于數(shù)列{a_n}，若m=8，記B紅元素的最大值為D，試求S的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x=$\sum_{i=1}^{n}$a_n+i，m=8，代入即可求得x的值，即可求得B中元素的最大值；
（Ⅱ）①由題意構造數(shù)列a_2n=n，（n=1，2，…，1008），a_2n-1=2017-n，（n=1，2，…，1008），由x=$\sum_{i=1}^{n}$a_4n+i，求得x的值，因此B={8068}；
②采用反正法，假設存在一個數(shù)列{a_n}使集合B只有一個元素，由題意數(shù)列{a_n}中的2016個數(shù)分為672，每段和相等，設和為T，T=$\frac{2017×3}{2}$，與T是整數(shù)矛盾，假設不成立，因此不存在數(shù)列{a_n}使集合B只有一個元素，
（Ⅲ）求得數(shù)列的前n項S≥8068，設a_2n-1=2017-n，（n=0，1，2，…1008），a_2n=n，（n=0，1，2，…1008），求得任意相鄰的8項和為T=8064，即求得S的最小值．

解答 解（Ⅰ）x=$\sum_{i=1}^{n}$a_n+i，m=8，
x=2016+2015+2014+2013+2012+2011+2010+2009=16100，
∴B中元素的最大值16100；
（Ⅱ）①數(shù)列：2016，1，2015，2，2014，3，…1009，1008能使集合B中只有一個元素，
這時，a_2n=n，（n=1，2，…，1008），a_2n-1=2017-n，（n=1，2，…，1008），
x=$\sum_{i=1}^{n}$a_4n+i=[2017-（4k+1）+2017-（4k+2）+2017-（4k+3）+2017-（4k+4）]+[（4k+1）+（4k+2）+（4k+3）+（4k+4）]，
=2017×4=8068，
所以B={8068}，
②當m=3，n=3k，k=0，1，2，…，671時，沒有這樣的數(shù)列{a_n}，使集合B只有一個元素，
證明：假設存在一個數(shù)列{a_n}使集合B只有一個元素，由題意數(shù)列{a_n}中的2016個數(shù)分為672，每段和相等，設和為T，則有：
672T=1+2+3+…+2016=$\frac{（2016+1）×2016}{2}$=$\frac{2017×672×3}{2}$，
所以T=$\frac{2017×3}{2}$，與T是整數(shù)矛盾，假設不成立，
當m=3，n=3k，k=0，1，2，…，671，沒有這樣的數(shù)列{a_n}使得集合B只有一個一個元素，
（Ⅲ）S的最小值為8068，
由題意S=max（$\sum_{i=1}^{n}$a_n+i），n=0，1，2，…2008，
所以$\frac{2016}{8}$S≥$\frac{2016×2017}{2}$，即S≥8068，
要求所以S中的最小值，構造這樣的數(shù)列{a_n}，
a_2n-1=2017-n，（n=0，1，2，…1008），a_2n=n，（n=0，1，2，…1008），
設任意相鄰的8項和為T，則：
T=a_2n+a_2n+1+…+a_2n+7=[n+（n+1）+（n+2）+（n+3）]+[（2017-n-1）+（2017-n-2）+（2017-n-3）-（2017-n-4）]，
=2016×4，
=8064，（n=0，1，2，…1004），
∴T≤8068，即對這樣的數(shù)列{a_n}，S=8068，
∵S≥8068，
∴S=8068．

點評 本題考查數(shù)列與集合的綜合運用，考查反證法的應用，考查學生分析解決問題的能力，正確理解集合與數(shù)列的關系是解題的關鍵，屬于難題．