Question

1．已知中心在坐標原點的橢圓C的右焦點為F（1，0），點F關于直線y=$\frac{1}{2}$x的對稱點在橢圓C上，則橢圓C的方程為$\frac{5{x}^{2}}{9}$+$\frac{5{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，設點F（1，0）關于直線y=$\frac{1}{2}$x的對稱點為（m，n），由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及中點坐標公式，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程．

解答 解：設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=1，即a²-b²=1，
設點F（1，0）關于直線y=$\frac{1}{2}$x的對稱點為（m，n），
可得$\frac{n}{m-1}$=-2，且$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1+m}{2}$，
解得m=$\frac{3}{5}$，n=$\frac{4}{5}$，即對稱點為（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
代入橢圓方程可得$\frac{9}{25{a}^{2}}$+$\frac{16}{25^{2}}$=1，
解得a²=$\frac{9}{5}$，b²=$\frac{4}{5}$，
可得橢圓的方程為$\frac{5{x}^{2}}{9}$+$\frac{5{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：$\frac{5{x}^{2}}{9}$+$\frac{5{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的焦點，以及點關于直線對稱，由點滿足橢圓方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．