Question

【題目】某市為了改善居民的休閑娛樂活動(dòng)場(chǎng)所，現(xiàn)有一塊矩形草坪如下圖所示，已知：米，米，擬在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路、和，要求點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊時(shí)上，且.

（1）設(shè)，試求的周長(zhǎng)關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出此函數(shù)的定義域；

（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為元，試問如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用.

Answer 1

【答案】（1），定義域?yàn)?/span>；

（2）當(dāng)米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為元．

【解析】

（1）利用勾股定理通過，得出，結(jié)合實(shí)際情況得出該函數(shù)的定義域；

（2）設(shè)，由題意知，要使得鋪路總費(fèi)用最低，即為求的周長(zhǎng)最小，求出的取值范圍，根據(jù)該函數(shù)的單調(diào)性可得出的最小值.

（1）由題意，在中，，，，，

中，，，，又，

，

所以，即.

當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角最小，求得此時(shí)；

當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角最大，求得此時(shí).

故此函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；

（2）由題意知，要求鋪路總費(fèi)用最低，只需要求的周長(zhǎng)的最小值即可．

由（1）得，，

設(shè)，，

則，

由，得，，則，

從而，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，，

答：當(dāng)米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為元．