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5.在銳角△ABC中,a=2bsinA,則cosA+sinC的取值范圍是(32,32).

分析 已知等式利用正弦定理化簡,根據(jù)sinA不為0求出sinB的值,確定出B的度數(shù),進而表示出A+C的度數(shù),用A表示出C,代入所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),由A的范圍求出這個角的范圍,利用正弦函數(shù)的值域確定出范圍即可.

解答 解:已知等式a=2bsinA利用正弦定理化簡得:sinA=2sinBsinA,
∵sinA≠0,
∴sinB=12,
∵B為銳角,
∴B=30°,即A+C=150°,
∴cosA+sinC=cosA+sin(150°-A)
=cosA+12cosA+32sinA
=32cosA+32sinA
=332cosA+12sinA)
=3sin(A+60°),
∵60°<A<90°,
∴120°<A+60°<150°,
12<sin(A+60°)<32,即323sin(A+60°)<32,
則cosA+sinC的取值范圍是:(32,32).
故答案為:(32,32).

點評 此題考查了正弦定理,以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的定義域與值域,熟練掌握公式是解本題的關鍵,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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