Question

20．已知平面M內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，平面N內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，問這九個(gè)點(diǎn)最多能確定（1）多少個(gè)平面？（2）多少個(gè)四面體？

Answer 1

分析 這九個(gè)點(diǎn)中，任取三個(gè)點(diǎn)，需要分四種情況，一是三點(diǎn)均在平面α內(nèi)，二是三點(diǎn)均在平面β內(nèi)，三是平面α內(nèi)取兩個(gè)點(diǎn)，在平面β內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)，四是平面α內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)，在平面β內(nèi)取兩個(gè)點(diǎn)；這九個(gè)點(diǎn)中，任取四個(gè)點(diǎn)，需要分四種情況，一是三點(diǎn)均在平面α內(nèi)，二是三點(diǎn)均在平面β內(nèi)，三是平面α內(nèi)取兩個(gè)點(diǎn)，在平面β內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)，四是平面α內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)，在平面β內(nèi)取兩個(gè)點(diǎn)，我們利用組合數(shù)公式易得結(jié)果．

解答 解：從9個(gè)點(diǎn)中取3時(shí)，確定的平面分以下幾種情況：
①當(dāng)三點(diǎn)均在平面α內(nèi)時(shí)，確定的平面即為α，即滿足條件的平面有1個(gè)；
②當(dāng)三點(diǎn)均在平面β內(nèi)時(shí)，確定的平面即為β，即滿足條件的平面有1個(gè)；
③當(dāng)三點(diǎn)在平面α內(nèi)取兩個(gè)點(diǎn)，在平面β內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)時(shí)，確定的平面?zhèn)€數(shù)有C₄²C₅¹=30個(gè)，
④當(dāng)三點(diǎn)在平面α內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)，在平面β內(nèi)取兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，確定的平面?zhèn)€數(shù)有C₄¹C₅²=40個(gè)，
故滿足答案的平面共有72個(gè)；
從9個(gè)點(diǎn)中取3時(shí)，確定的四面體分以下幾種情況：
①當(dāng)四點(diǎn)在平面α內(nèi)取三個(gè)點(diǎn)，在平面β內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)時(shí)，確定的平面?zhèn)€數(shù)有C₄³C₅¹=20個(gè)，
②當(dāng)四點(diǎn)在平面α內(nèi)取二個(gè)點(diǎn)，在平面β內(nèi)取兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，確定的平面?zhèn)€數(shù)有C₄²C₅²=60個(gè)，
③當(dāng)四點(diǎn)在平面α內(nèi)取一個(gè)點(diǎn)，在平面β內(nèi)取三個(gè)點(diǎn)時(shí)，確定的平面?zhèn)€數(shù)有C₄¹C₅³=40個(gè)，
故滿足答案的四面體共有120個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面的性質(zhì)及推論，根據(jù)公理2不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面，我們分類討論三點(diǎn)的位置情況，易得結(jié)論，屬于中檔題．