Question

6．有一塊正方形EFGH，EH所在直線是一條小河，收獲的蔬菜可送到F點(diǎn)或河邊運(yùn)走．于是，菜地分別為兩個(gè)區(qū)域S₁和S₂，其中S₁中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，S₂中的蔬菜運(yùn)到F點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)S₁和S₂的分界線C上的點(diǎn)到河邊與到F點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)O為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），如圖
（1）求菜地內(nèi)的分界線C的方程；
（2）菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出S₁面積是S₂面積的兩倍，由此得到S₁面積的經(jīng)驗(yàn)值為$\frac{8}{3}$．設(shè)M是C上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)，請計(jì)算以EH為一邊，另一邊過點(diǎn)M的矩形的面積，及五邊形EOMGH的面積，并判斷哪一個(gè)更接近于S₁面積的“經(jīng)驗(yàn)值”．

Answer 1

分析 （1）設(shè)分界線上任意一點(diǎn)為（x，y），根據(jù)條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）設(shè)M（x₀，y₀），則y₀=1，分別求出對應(yīng)矩形面積，五邊形FOMGH的面積，進(jìn)行比較即可．

解答 解：（1）設(shè)分界線上任意一點(diǎn)為（x，y），由題意得|x+1|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，得y=2$\sqrt{x}$，（0≤x≤1），
（2）設(shè)M（x₀，y₀），則y₀=1，
∴x₀=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴設(shè)所表述的矩形面積為S₃，則S₃=2×（$\frac{1}{4}$+1）=2×$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{2}$，
設(shè)五邊形EMOGH的面積為S₄，則S₄=S₃-S_△OMP+S_△MGN=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$×1+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×1$=$\frac{11}{4}$，
S₁-S₃=$\frac{8}{3}-\frac{5}{2}$=$\frac{1}{6}$，S₄-S₁=$\frac{11}{4}$-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{12}$＜$\frac{1}{6}$，
∴五邊形EMOGH的面積更接近S₁的面積．

點(diǎn)評 本題主要考查圓錐曲線的軌跡問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．