Question

數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足b_n=

a1+2a2+…+nan

1+2+3…+n

（n∈N^*）．
（1）若{b_n}是等差數(shù)列，求證：{a_n}為等差數(shù)列；
（2）若a_n=2ⁿ，求數(shù)列{

bn

(n-1)•2n+1

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題設條伯推導出an+1=

(n+2)bn+1-nbn

2

，由此能夠證明{a_n}是公差為

3

2

d的等差數(shù)列．
（2）記T_n=a_n+2a₂+…+na_n，由an=2n，得到Tn=2+2•22+…+n•2n，由此利用錯位相減法和裂項求和法能求出數(shù)列{

bn

(n-1)•2n+1

}的前n項和S_n．

解答： （1）證明：由題{b_n}是等差數(shù)列，設{b_n}的公差為d，
∵b_n=

a1+2a2+…+nan

1+2+3…+n

（n∈N^*），
∴（1+2+…+n）b_n=a₁+2a₂+…+na_n，①；
∴有[1+2+…+（n+1）]b_n+1=a₁+2a₂+…+na_n+（n+1）a_n+1，②…（3分）
∴②-①得：

(n+1)(n+2)

2

bn+1-

n(n+1)

2

bn=（n+1）a_n+1，
即an+1=

(n+2)bn+1-nbn

2

，
∴an=

(n+1)bn-(n-1)bn-1

2

，…（5分）
∴a_n+1-a_n=

1

2

(n+2)(bn+1-bn)-

1

2

(n-1)(bn-bn-1)=

3

2

d，
∴{a_n}是公差為

3

2

d的等差數(shù)列…（7分）
（2）解：記T_n=a_n+2a₂+…+na_n，
∵an=2n，
∴Tn=2+2•22+…+n•2n，①
∴2T_n=2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2，
∴bn=

a1+2a 2+…+nan

1+2+…+n

=

2Tn

n(n+1)

=

4[(n-1)•2n+1]

n(n+1)

，…（11分）
∴

bn

(n-1)•2n+1

=

4

n(n+1)

=4（

1

n

-

1

n+1

）…（13分）
∴Sn=4(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=4-

4

n+1

．…（14分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列前n項和的求法，解題時要注意錯位相減法和裂項求和法的合理運用．