Question

9．數列{a_n}的前n項和為S_n，若對任意n∈N^*，都有${S_n}={（-1）^n}{a_n}+\frac{1}{2^n}+n-3$，則數列{a_2n-1}的前n項和為$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{1}{{4}^{n}}$-3+2n．

Answer 1

分析 ${S_n}={（-1）^n}{a_n}+\frac{1}{2^n}+n-3$，由a₁=-a₁+$\frac{1}{2}$+1-3，解得a₁=$\frac{3}{4}$．當n=2k-1≥3，k∈N^*時，a_2k-1=S_2k-1-S_2k-3，變形為${a}_{2k-1}-\frac{3}{{4}^{k}}$-2=$\frac{1}{2}（{a}_{2k-3}-\frac{3}{{4}^{k-1}}-2）$，利用等比數列的通項公式可得a_2k-1，再利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：∵${S_n}={（-1）^n}{a_n}+\frac{1}{2^n}+n-3$，
∴a₁=-a₁+$\frac{1}{2}$+1-3，解得a₁=$\frac{3}{4}$．
當n=2k-1≥3，k∈N^*時，a_2k-1=S_2k-1-S_2k-3=-a_2k-1+$\frac{1}{{2}^{2k-1}}$+（2k-1）-3-$[-{a}_{2k-3}+\frac{1}{{2}^{2k-3}}+（2k-3）-3]$
化為：2a_2k-1=a_2k-3-$\frac{3}{{2}^{2k-1}}$+2．
變形為${a}_{2k-1}-\frac{3}{{4}^{k}}$-2=$\frac{1}{2}（{a}_{2k-3}-\frac{3}{{4}^{k-1}}-2）$，
∴數列{${a}_{2k-1}-\frac{3}{{4}^{k}}$-2}是等比數列，公比為$\frac{1}{2}$，首項為-2．
∴${a}_{2k-1}-\frac{3}{{4}^{k}}$-2=$-2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴a_2k-1=$\frac{3}{{4}^{k}}$-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+2．
∴數列{a_2n-1}的前n項和=$\frac{\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+2n
=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{1}{{4}^{n}}$-3+2n．
故答案為：$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{1}{{4}^{n}}$-3+2n．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．