Question

3．已知傾斜角為α的直線l與直線x+2y-3=0垂直，若向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足＜${\overrightarrow a$，$\overrightarrow b}$＞=α，|${\overrightarrow a}$|=$\sqrt{5}$，|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|=2$\sqrt{2}$，則|${\overrightarrow b}$|=1．

Answer 1

分析 根據(jù)傾斜角為α的直線l與直線x+2y-3=0垂直，得到tanα=2，再根據(jù)向量的數(shù)量積和模即可求出．

解答 解：傾斜角為α的直線l與直線x+2y-3=0垂直，
∴tanα=2，
∴$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∵|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|²=|${\overrightarrow a$|²+|$\overrightarrow b}$|²+2${\overrightarrow a$•$\overrightarrow b}$=|${\overrightarrow a$|²+|$\overrightarrow b}$|²+2|${\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b}$|•cosα=8，
∴${|{\overrightarrow b}|^2}+2|{\overrightarrow b}|-3=0$，
解得$|{\overrightarrow b}|=1$．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積和向量的模，以及直線的傾斜率問題，屬于基礎(chǔ)題．