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11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=2an-2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn={log2ann2n+2n(shù)2nann(shù),Tn為{bn}的前n項(xiàng)和,求T2n

分析 (1)利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bn=nn2n+2=121n1n+2;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn=2n2n=n2n1.分別利用“裂項(xiàng)求和”、“錯(cuò)位相減法”即可得出.

解答 解:(1)∵Sn=2an-2,∴n=1時(shí),a1=2a1-2,解得a1=2.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2),化為an=2an-1
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比為2.
∴an=2n,bn=2n2n
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bn=nn2n+2=121n1n+2;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn=2n2n=n2n1
設(shè)數(shù)列{1212k112k+1}的前k項(xiàng)和為Ak,則Ak=12[113+1315+…+12k112k+1]
=12112k+1=k2k+1
設(shè)數(shù)列{2k22k1}的前k項(xiàng)和為Bk
則Bk=212+223+325++k22k1,
14Bk=2123+225++k122k1+k22k+1,
34Bk=212+123++122k1k22k+1=212114k114k22k+1,
∴Bk=4343-4+3k3×4k)=169-4+3k9×4k1
∴T2n=n2n+1+169-4+3n9×4n1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、“錯(cuò)位相減法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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