【題目】在銳角△ABC中,a=2,_______,求△ABC的周長l的范圍.
在①(﹣cos
,sin
),
(cos
,sin
),且
,②cosA(2b﹣c)=acosC,③f(x)=cosxcos(x
)
,f(A)
注:這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并對其進行求解.
【答案】l△ABC∈(6+2,6
].
【解析】
選①時,由平面向量的數(shù)量積與三角恒等變換求出A的值,再利用正弦定理和三角恒等變換求出△ABC周長的取值范圍;
選②時,由正弦定理和三角恒等變換求出A的值,再利用正弦定理和三角恒等變換求出△ABC周長的取值范圍;
選③時,由三角恒等變換求得A的值,再利用正弦定理和三角恒等變換求出△ABC周長的取值范圍.
解:若選①,則由(﹣cos
,sin
),
(cos
,sin
),且
,
得,∴cosA
,
又A∈(0,),
所以A;
又,所以
,
,
△ABC的周長為,
即;
因為銳角△ABC中,A,所以
,
,
所以B∈(,
),
所以B∈(
,
),
所以△ABC的周長為l△ABC∈(6+2,6
].
若選②,由cos A(2b﹣c)=acos C,
所以2bcosA=acosC+ccosA,
所以2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB;
又B∈(0,π),所以sinB≠0,所以cosA;
又A∈(0,),所以A
;
又,所以
,
,
△ABC的周長為,
即;
因為銳角△ABC中,A,所以
,
,
所以B∈(,
),
所以B∈(
,
),
所以△ABC的周長為l△ABC∈(6+2,6
].
若選③,則f(x)=cos xcos(x)
cos xsin x
(
cos2x
sin2x)
sin(2x
),
又f(A),所以sin(2A
)
,
又A∈(0,),所以A
;
又,所以
,
,
△ABC的周長為,
即;
因為銳角△ABC中,A,所以
,
,
所以B∈(,
),
所以B∈(
,
),
所以△ABC的周長為l△ABC∈(6+2,6
].
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【題目】如圖,在中,
,
,
,D為線段BC(端點除外)上一動點.現(xiàn)將
沿線段AD折起至
,使二面角
的大小為120°,則在點D的移動過程中,下列說法錯誤的是( )
A.不存在點,使得
B.點在平面
上的投影軌跡是一段圓弧
C.與平面
所成角的余弦值的取值范圍是
D.線段的最小值是
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列,其中
.
(1)若滿足
.
①當,且
時,求
的值;
②若存在互不相等的正整數(shù),滿足
,且
成等差數(shù)列,求
的值.
(2)設數(shù)列的前
項和為
,數(shù)列
的前n項和為
,
,
,若
,
,且
恒成立,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知如圖所示的三棱錐D﹣ABC的四個頂點均在球O的球面上,△ABC和△DBC所在平面相互垂直,AB=3,AC=,BC=CD=BD=2
,則球O的表面積為( )
A.4π B.12π C.16π D.36π
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新冠病毒是一種通過飛沫和接觸傳播的變異病毒,為篩查該病毒,有一種檢驗方式是檢驗血液樣本相關指標是否為陽性,對于份血液樣本,有以下兩種檢驗方式:一是逐份檢驗,則需檢驗
次.二是混合檢驗,將其中
份血液樣本分別取樣混合在一起,若檢驗結果為陰性,那么這
份血液全為陰性,因而檢驗一次就夠了;如果檢驗結果為陽性,為了明確這
份血液究竟哪些為陽性,就需要對它們再逐份檢驗,此時
份血液檢驗的次數(shù)總共為
次.某定點醫(yī)院現(xiàn)取得4份血液樣本,考慮以下三種檢驗方案:方案一,逐個檢驗;方案二,平均分成兩組檢驗;方案三,四個樣本混在一起檢驗.假設在接受檢驗的血液樣本中,每份樣本檢驗結果是陽性還是陰性都是相互獨立的,且每份樣本是陰性的概率為
.
(Ⅰ)求把2份血液樣本混合檢驗結果為陽性的概率;
(Ⅱ)若檢驗次數(shù)的期望值越小,則方案越“優(yōu)”.方案一、二、三中哪個最“優(yōu)”?請說明理由.
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【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗,并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間
的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點圖(如圖).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中,
.
(1)根據(jù)散點圖判斷,與
哪一個更適宜作燒開一壺水時間
關于開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)
的回歸方程類型?(不必說明理由)
(2)根據(jù)判斷結果和表中數(shù)據(jù),建立關于
的回歸方程;
(3)若旋轉的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量
成正比,那么
為多少時燒開一壺水最省煤氣?
附:對于一組數(shù)據(jù),…,
,其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在
(
為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線方程;
(2)若對任意的,均有
,則稱
為
在區(qū)間
上的下界函數(shù),
為
在區(qū)間
上的上界函數(shù).
①若,求證:
為
在
上的上界函數(shù);
②若,
為
在
上的下界函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍.
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